lineare Unabhängigkeit

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22.11.2004, 16:46	Fliege	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Unabhängigkeit Sei vi:V-> V ein Endomorphismus des VR V und sei v e V.Für die n-fache Hintereinanderschaltung von vi schreiben wir vi^n :=vi o...o vi (n mal, o = kringel) Wir nehmen an, dass für eine natürliche Zahl n gilt: vi^n(v) ungleich 0 und vi^n+1(v)=0. Zeigen sie, dass die Vektoren v, vi(v), vi²(v),..., vi^n(v) linear unabhängig sind. ich seh hier kein land. vielleicht kann mir das jemand schritt für schritt erklären, wie man auf die richtige Lösung kommt!
22.11.2004, 16:49	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt linear Unabhängig? Was ist ein Endomorphismus? Was sollen vi^n != 0 und vi^n+1 = 0 bedeuten? Mach Dir das erstmal klar.
22.11.2004, 18:10	Fliege	Auf diesen Beitrag antworten »
also vi ist der griechische buchstabe. quasi vi hoch n von v ist ungleich 0 und vi hoch n+1 von v ist gleich 0. linear unabhängig heißt, dass sich der eine vektor nicht durch ein vielfaches des anderen vektors darstellen läßt. ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus f: A -> A einer mathematischen Struktur A in sich selbst. das ist die def. aber was kann ich mir bildlich drunter vorstellen?
23.11.2004, 09:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition der linearen Unabhängigkeit kann man auch anders schreiben: Die Vektoren $\begin{eqnarray} \alpha_1, ..., \alpha_n \end{eqnarray}$ heißen linear unabhängig, wenn aus $\begin{eqnarray} \lambda_1 \alpha_1 + ... + \lambda_n * \alpha_n = 0 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \lambda_1 = ... = \lambda_n = 0 \end{eqnarray}$ ist. Zeige also, dass aus $\begin{eqnarray} \lambda_1 * v + \lambda_2 * \phi(v) + ... + \lambda_{n+1} * \phi^n(v) = 0 \end{eqnarray}$ folgt, dass: $\begin{eqnarray} \lambda_1 = ... = \lambda_{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$
23.11.2004, 13:18	Fliege	Auf diesen Beitrag antworten »
na das ist mir schon klar. ich weiß aber nicht, wie ich da weiter machen soll. wie ich das zu zeigen habe. mir fehlen da die ansätze!
23.11.2004, 13:24	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende auf den Ausdruck $\begin{eqnarray} \lambda_1 v + \lambda_2 * \phi(v) + ... + \lambda_{n+1} * \phi^n(v) \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray*}$ an. Was fällt dir auf?
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23.11.2004, 13:28	Fliege	Auf diesen Beitrag antworten »
versteh ich jetzt nich!?
23.11.2004, 13:34	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
nun ja, aus dem letzten Summanden wird $\begin{eqnarray} \lambda_{n+1} \phi^{n+1}(v) \end{eqnarray}$ , und der ist bekanntlich 0. Also mit jeder Anwendung der Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray*}$ verschwindet der letzte Summand. Das Spiel kannst du jetzt machen, bis nur noch der erste Summand da steht. Fällt der Groschen?
23.11.2004, 13:51	Fliege	Auf diesen Beitrag antworten »
also multipliziere ich jedes glied mit abbildung von vi und es steht dann am ende v*lambda = = und dann ist lambda gleich 0 und die vektoren sind somit linear unabhängig, da lambda 1=...= lambda n = 0 sind. und wie schreibe ich das mathematisch richtig auf?
23.11.2004, 14:50	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
gute Frage, ich würde es so machen: Es ist zu zeigen: () Wenn $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~\lambda_k * \phi^k(v) = 0 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \lambda_k = 0 \end{eqnarray}$ für alle k mit 0 <= k <= n Dabei sei $\begin{eqnarray} \phi^0(v) = v \end{eqnarray}$ Angenommen es gäbe mindestens ein k mit $\begin{eqnarray} \lambda_k \neq 0 \end{eqnarray}$ Sei i der kleinste dieser Werte, also $\begin{eqnarray} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_k = 0 \end{eqnarray}$ für 0 <= k < i Durch (n - i)-faches anwenden der Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ erhalten wir für die Gleichung (): $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~\lambda_k \phi^{k+n-i}(v) = 0 \end{eqnarray}$ wobei für k > i $\begin{eqnarray} \phi^{k+n-i}(v) = 0 \end{eqnarray}$ ist. Wegen $\begin{eqnarray} \lambda_k = 0 \end{eqnarray}$ für 0 <= k < i bleibt nur der Summand für k=i und wir erhalten: $\begin{eqnarray} \lambda_i * \phi^n(v) = 0 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ und Widerspruch zur Annahme.

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