Komplexe Zahlenfolge

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12.04.2007, 18:28	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlenfolge Hi! Wir betrachten die kompl. Zahlenfolge $\begin{eqnarray} a_n=\left(\cfrac{2-i}{2+i}\right)^n \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \|a_n\|=1~\operatorname{und}~a_n\neq 1~~~\forall~n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ Ich habe zunächst umgeschrieben, in dem ich mit dem konjugiert komplexen erweitert habe: $\begin{eqnarray} a_n=\left(\cfrac{3}{5}-\cfrac{4}{5}~i\right)^n \end{eqnarray}$ Ich zeige zunächst das mit dem Betrag: $\begin{eqnarray} \|(a_n)^2\|=\|a_n\|^2=\left(\sqrt{\left(\cfrac{3}{5}\right)^2+\left(-\cfrac{4}{5}\right)^2}\right)^n=\left(\sqrt{\cfrac{25}{25}}\right)=1^n=1 \end{eqnarray}$ Ist das richtig??? Wie kann ich die zweite Behauptung zeigen? Hab mir überlegt über Grenzwertbetrachtung zu gehen, aber der Grenzwert ist ja Null. Wie kann man nachprüfen, ob diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt??? Danke für eure Hilfe Edit: Falls die Folge oben nicht angezeigt wird: Find den Fehler nicht, und im Formeleditor klappts Edit by therisen: Es muss [/latex] heißen und nicht [\latex]
12.04.2007, 19:06	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für (1) genügt es bereits zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \left\|\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\mathrm{i}\right\|=1 \end{eqnarray}$ . Für die zweite Behauptung habe ich mir überlegt: $\begin{eqnarray} a_n = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\cdot n\arccos \frac{3}{5} } \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mathrm{Im}(a_n) = \sin \left(-n\arccos \frac{3}{5} \right) \neq 0 \quad \forall n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , insbesondere also $\begin{eqnarray} a_n\not\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen
12.04.2007, 19:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du LaTeX installiert hast, ist der Artikel sicher ganz interessant für dich: http://www.uni-math.gwdg.de/jahnel/Preprints/monthly.dvi Ist vielleicht nicht auf den ersten Blick erkennbar, was das mit dem vorliegenden Problem zu tun hat - auf den zweiten aber schon.
12.04.2007, 19:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich könnte jetzt sagen: Im Ring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ der ganzen Gaußschen Zahlen sind $\begin{eqnarray} 2 + \operatorname{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 - \operatorname{i} \end{eqnarray}$ nichtassoziierte Primelemente. Da der Ring euklidisch ist, gilt in ihm der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung: Also ist eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray} (2 + \operatorname{i})^n = (2 - \operatorname{i})^n \end{eqnarray}$ unmöglich. Aber das wird dir wohl nicht viel nützen. Übrigens ist die Umformung in kanonische Form nicht erforderlich, um zu zeigen, daß jedes Folgenglied auf dem Einheitskreis liegt.
12.04.2007, 19:50	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
@all: Danke für eure Antworten @therisen: Danke für deine Korrektur. Hab ich gar nicht gesehen, dass es an so was liegen könnte Die Idee mit der zweiten Behauptung finde ich richtig gut. Soll also heißen, dass die Folge nur komplexe Werte annimmt und demzufolge nie reell werden kann. Aber wieso wird dann bloß nach $\begin{eqnarray} \neq 1 \end{eqnarray}$ gefragt? Dann könnte man die Frage ja noch viel allgemeiner formulieren. Na gut. Ist der Ansatz aber trotzdem richtig den ich notiert habe??? Klar, man hätte es auch kürzer machen können. @Arthur Dent: Danke für den Artikel. Aber ohje, der ist ja auf englisch. Da muss ich mich erstmal reinfitzen. Kannst du mir wenigstens bitte die Seite sagen, auf die ich mich stürzen soll Noch eine Frage zu der Teilfolge: Welche Bedingungen muss ich denn an diese stellen? Müssen beide Folgen dann gegen den gleichen Grenzwert gehen, oder wie??? Vielen Dank an alle!!!!!!!!!
12.04.2007, 21:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zeigen ist ja, daß $\begin{eqnarray} (2 + \operatorname{i})^n - (2 - \operatorname{i})^n \end{eqnarray}$ niemals 0 werden kann. Wenn man die Klammern nach dem binomischen Lehrsatz entwickelt, erkennt man, daß der Ausdruck stets $\begin{eqnarray} \in \operatorname{i} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist. Wenn man sich schon einmal mit linearen Rekursionen beschäftigt hat (z.B. Fibonacci-Folgen), so kommt man vielleicht auf die Idee, nach einer solchen hier zu suchen. Und in der Tat funktioniert das. Zeige, daß für $\begin{eqnarray} a_n = \frac{1}{\operatorname{i}} \left((2 + \operatorname{i})^n - (2 - \operatorname{i})^n \right) \, , \ \ n \geq 1 \end{eqnarray}$ die Rekursion $\begin{eqnarray} a_{n+2} = 4 a_{n+1} - 5 a_n \, , \ \ n \geq 1 \end{eqnarray}$ gilt und begründe damit, daß kein $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ durch 5 teilbar ist. Also kann es auch nicht 0 werden, denn 0 ist durch 5 teilbar. (Auf die Koeffizienten der Rekursion kommt man mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} a_{n+2} = u \, a_{n+1} + v \, a_n \end{eqnarray}$ . Setzt man zwei spezielle Werte für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ein, so kann man $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ mittels eines linearen Gleichungssystem bestimmen. Hat man die Formel erst einmal "erraten", ist sie dann durch Rechnung zu beweisen.)
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14.04.2007, 16:48	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Sorry für die späte Antwort, hab es leider nicht eher geschafft. Leopold, verstehe leider nicht sehr viel von dem was du geschrieben hast. Erstmal was zu meinen eigenen Ausführungen. Also mit dem Betrag das ist ja klar. Bezieht sich dein Argument am Anfang auf die Entwicklung nach dem binomischen Lehrsatz, so dass ich noch auf anderem Wege erkennen kann, dass die Folge nie reell wird??? Und nochmal die Frage: Warum wird explizit nach $\begin{eqnarray} a_n\neq 1 \end{eqnarray}$ gefragt, und nicht allgemein, warum die Folge nie reelle Werte annimmt??? Irreführung des Profs??? Dann zur Teilfolge: Ist es nicht so, dass wenn ich eine konvergente Teilfolge finden soll, dass diese gegen irgendeinen Häufungspunkt gehen müsste??? Weil ich glaube, dass ja die Folge an sich nicht konvergent ist. Weiß jedoch nicht wie man das schnell nachweisen könnte. Also ist doch die Frage nun eher die Suche nach den Häufungswerten. Kann ich da Bolzano-Weierstraß anwenden und dann aus der nicht-beschränktheit folgern, dass keine konvergente Teilfolge existiert. Bliebe dann aber die Frage nach dem Beweis für die Nicht-Beschränktheit. Freue mich über eure Statements...
14.04.2007, 22:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir müssen ein bißchen aufpassen, von welcher Folge wir reden. Vielleicht habe ich dich verwirrt, weil ich einer anderen Folge denselben Namen wie deiner Originalfolge gegeben habe. Ich korrigiere das und unterscheide deine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \geq 1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n = \left( \frac{2 - \operatorname{i}}{2 + \operatorname{i}} \right)^n \end{eqnarray}$ von meiner Folge $\begin{eqnarray} (b_n)_{n \geq 1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{\operatorname{i}} \left( \left( 2 + \operatorname{i} \right)^n - \left( 2 - \operatorname{i} \right)^n \right) \end{eqnarray}$ Für alle $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_n \neq 1 \end{eqnarray}$ zu zeigen. Das ist aber äquivalent zu $\begin{eqnarray} b_n \neq 0 \end{eqnarray}$ . Die Bemerkung, daß die Differenz der beiden Potenzen $\begin{eqnarray} \in \operatorname{i} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist, sollte nur motivieren, warum ich den Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{\operatorname{i}} \end{eqnarray}$ da hinsetze. Für die Argumentation ist sie ansonsten ohne Belang. Aber Vorsicht! "Element von $\begin{eqnarray} \operatorname{i} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ " heißt ja nicht zwangsläufig "rein imaginär", denn auch die reelle Zahl $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist Element von $\begin{eqnarray} \operatorname{i} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Und genau das ist ja noch nachzuweisen, daß $\begin{eqnarray} b_n \neq 0 \end{eqnarray}$ ist für alle $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ . Der Trick ist nun die rekursive Beziehung $\begin{eqnarray} b_{n+2} = 4 b_{n+1} - 5 b_n \, , \ \ n \geq 1 \end{eqnarray}$ Wie man auf den Ansatz kommt, habe ich schon beschrieben. Der Nachweis, daß diese Beziehung gilt, ist eine einfache Rechenaufgabe. Am besten schiebst du die rechte Seite nach links und weist nach, daß das Ganze immer 0 ist. Einfach passende Ausdrücke durch Ausklammern möglichst hoher Potenzen zusammenfassen. Und dann empfehle ich dir, $\begin{eqnarray} b_1,b_2,b_3,b_4,\ldots \end{eqnarray}$ einfach einmal auszurechnen. Ab dem Index 3 kannst du statt mit dem expliziten Ausdruck mit der Rekursionsformel arbeiten. Du wirst sehen, daß keine dieser ganzen Zahlen durch 5 teilbar ist. Und mit der Rekursionsformel läßt sich das auch ganz leicht weiterspinnen ...
19.04.2007, 20:21	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Leopold, sorry für die späte Antwort. Vielen Dank für deine vielen Tipps. Bin mal gespannt was der Übungsleiter zu allem sagt, was ich da so aufgeschrieben habe Dankeschön!

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