Dimension eines Teilraumes bestimmen |
| 22.11.2004, 18:11 | Sonja20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Dimension eines Teilraumes bestimmen Sitze mal wieder vor meinem LA Blatt und komme nicht weiter. Muss folgende Aufgabe lösen: Bestimmen sie die Dimension des Teilraumes von R hoch 5, welcher von den Vektoren v1=(2,4,8,-4,-7) v2=(4,-2,-1,3,1) v3=(3,5,2,-2,4) v4=(-5,1,7,-6,2) aufgespannt wird. Vielleicht kann mir ja jmd. nettes einen Denkanstoß geben. Dankeschön!!!!!!!!! Lg Sonja |
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| 22.11.2004, 18:25 | matze2002 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Dimension eines Teilraumes bestimmen schau doch einfach wie viele der vektoren linear unabhängig zu einander sind.... die anzahl der linear unabhängigen vektoren ist gleich der länge der basis und die länge ist gleich der dimension! hoffe ich konnte dir helfen |
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| 22.11.2004, 19:06 | Sonja20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Dimension eines Teilraumes bestimmen Danke erst einmal! Hört sich sehr einleuchtend an, wenn ich aber ein Gleichungssystem aufstelle, um zu überprüfen, ob irgendwelche Vektoren unabhängig von einander sind, kommt da nichts raus. Das kann aber nicht, da damit die Aufgabe Unsinn wäre. Es muss doch noch eine andere Methode geben,oder? |
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| 22.11.2004, 21:12 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stelle aus deinen vektoren eine 5x4-matrix zusammen, indem du sie einfach als deren spalten hintereinanderschreibst. nun wende den gaussalgorithmus an. wenn du nur zeilenoperationen anwendest so wird sich an der linearen abhängigkeit der spalten nichts ändern, d.h. aus der treppe (evtl. auch schon aus einern vorform) kannst du die lineare (un)abhängigkeit einfach ablesen. daraus kannst du auch leicht ablesen, welche vektoren wie aus den anderen linearkombinierbar sind. beispiel: V=R³, W=<v1,v2,v3> UVr von V matrix aufstellen (hier 3x3): und nun umformen ergbit nach wenigen schritten folgende treppenform: hier kannst du direkt ablesen: v3=3v1+2v2 und das kannst du auch in der ausgangsform überprüfen. deine neuen spalten-vektoren haben nichts mehr direkt mit W zu tun, aber sie haben die gleiche lineare unabhängigkeit wie die erzeugendenvektoren von W. also gilt: dim W=2; W=<v1,v2> hoffe, das beispiel ist anschaulich klar. mfg jochen edit: sorry ausversehen zu früh abgeschickt; beispiel nachgereicht! edit2: matrizen ausversehen transponiert hingeschrieben; latexprobleme eben 
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| 22.11.2004, 22:54 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu LOEDs Beitrag gibt es wenig hinzuzufügen - ich möchte nur anmerken, dass die hier gesuchte Teilraumdimension als "Rang" der Matrix [v_1 ... v_m] bezeichnet wird. |
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| 22.11.2004, 23:30 | Sonja20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke! Glaube, ich habe es jetzt verstanden. Muss also die Matriz wie folgt aufstellen: 2 4 3 -5 4 -2 5 1 8 -1 2 7 -4 3 -2 -6 -7 1 4 2 da ich ja Zeilen vertauschen darf: -7 1 4 2 8 -1 2 7 4 -2 5 1 -4 3 -2 -6 2 4 3 -5 Nach sämtlichen Rechenschritten komme ich dann auf: -7 1 4 2 8 -1 2 7 0 3 -8 5 0 4 5 0 0 11 4 16 Kann daraus keine Un- bzw. Abhängigkeit erkennen. Weiß auch nicht, wie ich das weiter auflösen soll. In dem bsp. war das ja auch alles noch einleuchtend. Hab ich vielleicht irgendwas falsch gemacht? |
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| 23.11.2004, 01:00 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine umgeformte Matrix ist ja auch nicht in Treppenform - das siehst du ja auch selber, oder? |
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| 23.11.2004, 18:21 | Sonja20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das seh ich auch. Aber ich schaffe es einfach nicht, dass auf Treppenform zu bringen. Und da würde ich gerne wissen, ob ich was falsch gemacht habe, oder ob ich einen Vektor weglssen kann oder was ich sonst tun muss. |
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| 23.11.2004, 19:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sagt dir gaußverfahren etwas? das ist ein standardverfahren um matrizen auf treppenform zu bringen. wende das an und du wirst keine probleme mit der treppe haben... mfg jochen |
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