Körper und Ring

22.11.2004, 19:10	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper und Ring 1. Für den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ (a) gebe man Additions- und Multiplikationstabelle an, (b) zeige man, dass n=3 die kleinste natürliche Zahl n ist mit x+...+x (n-mal)=0 für jedes $\begin{eqnarray} x\in \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ , (c) beweise man die Formel $\begin{eqnarray} (x+y)^3=x^3+y^3 \end{eqnarray}$ , für alle $\begin{eqnarray} x,y\in \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ . 2. Für den Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ (a) gebe man die Multiplikationstabelle an, (b) prüfe man, ob die Formel $\begin{eqnarray} (x+y)^4=x^4+y^4 \end{eqnarray}$ , für alle $\begin{eqnarray} x,y\in \mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ . Die beiden (a) Aufgaben sind kein Problem, aber die anderen Teile bekomme ich nicht hin. Kann mir jemand helfen?
22.11.2004, 19:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1. b) Zeige, daß das für kleinere n als 3 falsch ist. Zu 1. c) Verwende die binomische Formel für die Hochzahl 3 (gilt in jedem kommutativen Ring mit 1, da zu ihrem Beweis nur dessen Eigenschaften verwendet werden). Beachte, daß die in der Formel vorkommenden "natürlichen Zahlen" n in Wirklichkeit nur das n-fache Aufsummieren der Ring-Eins bezeichnen. Zum Beispiel bedeutet 3x² ausgeschrieben x²+x²+x² = (1+1+1)x² (Distributivgesetz) 3 steht also symbolisch für 1+1+1 (1 ist die Ring-Eins) Zu 2.b) Das geht wie 1. c). Tip: Setze x=1, y=3 in die Formel ein (mit den Zahlen seien die entsprechenden Restklassen bezeichnet).
23.11.2004, 17:27	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Also 1. (c) und 2. (b) sind wirklich nicht so schwer! Ich brauch doch nur beweisen das $\begin{eqnarray} 3a^2b+3ab^2=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4a^3b+6a^2b^2+4ab^3=0 \end{eqnarray}$ oder? Wenn das der Fall ist kann ich wie bei 1(c) die Formel anwenden und wenn nicht wie bei 2(b) dann nicht. Ich habe das jetzt so gemacht das ich alle Möglichkeiten ausprobiert habe, wenn man die mit einer 0 weglässt sind das nur 4 bzw. 9 Möglichkeiten. Aber bei z.B. $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{13} \end{eqnarray}$ muß man das doch auch anders zeigen können, denn 144 Möglichkeiten ist etwas viel zum probieren Reicht es bei 1(b) einfach zu zeigen das n=1 also x und n=2 also x+x nicht zu dem Ergebnis führen?
24.11.2004, 16:34	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo merlin25! Sag mal, bist du mit der Aufgabe 1 vom Ü-Zettel schon fertig? Bzw. kannst du mir da mal nen Tipp geben?? Danke

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