metrischer Raum

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22.11.2004, 20:31	prospero	Auf diesen Beitrag antworten »
metrischer Raum Hi mein erster Beitrag und gleich mal ein Problem Folgende Aufgabe habe ich die ich lösen soll. Das Problem ist, dass die Aufgabe so trivial ist, das ich nicht wo ich anfangen soll... X:= $\begin{eqnarray} \mathbb R \bigcup \infty \end{eqnarray}$ ( soll vereinigt mit unendlich heißen) In (X,d) ist die Folge (an) n aus $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ der natürlichen Zahlen an:= n eine Cauchy Folge. (das n hinter dem a soll ein Index n sein) Frage: Was ist ihr Grenzwert ? Meine These: Der Grenzwert muss doch zwangsläufig a sein, da (an) ja sowieso schon eine Cauchy Folge und ergo beschränkt ist. es gilt ja es ex ein N aus der Menge der natürlichen Zahlen so dass gilt: d(an,a) kleiner epsilon für alle epsilon größer Null und n größer gleich N also an konvergiert gegen a für n gegen unendlich.... was soll ich das also noch beweisen ???????
22.11.2004, 20:36	BuzzDee	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm studierst du in regensburg? die aufgabe kommt mir bekannt vor
22.11.2004, 20:39	prospero	Auf diesen Beitrag antworten »
ja tu ich aber die stellen da lauter so bescheuerte Aufgaben X(
22.11.2004, 20:44	BuzzDee	Auf diesen Beitrag antworten »
lol ja. checks auch net ganz... hab mir die aufgabe noch net so angeguggt aber an strebt ja gg undendlich. unendlich is element von X. also is doch unendlich der grenzwert. in diesem falle wird das ja als element von X angesehen von daher kanns doch auch dahin streben oder? ^^ bissle komische aufgabe mal wieder... edit: ich denk du musst die definition des abstands mit einbeziehen... d(a,b):= $\begin{eqnarray} \frac{\mid a-b \mid }{(1+\mid a \mid)(1+\mid b \mid)} \end{eqnarray}$ für a,b element R, a ungleich b ungleich unendlich (uh das mit dem latex is noch net so mein ding ^^)
22.11.2004, 20:51	prospero	Auf diesen Beitrag antworten »
unendlich ist aber doch kein Grenzwert ... das würde meine mathematische Welt auf den Kopf stellen ausserdem wenn das Ding gegen unenldich geht, dann wäre es divergent und keine Cauchy folge mehr... ach ich glaub ich geh
22.11.2004, 20:54	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: metrischer Raum Du solltest auch noch die Metrik d angeben, die in (X,d) verwendet wird! Die (gewöhnliche) euklidische Metrik kann es jedenfalls NICHT sein, da kriegst du Probleme mit $\begin{eqnarray} d(x,\infty) \end{eqnarray}$ für reelle x. EDIT: Entschuldigung, in BuzzDee's Beitrag wird die Metrik erwähnt (dann ergibt das alles Sinn), das hatte ich vorhin noch nicht gelesen. Als Ergänzung nehme ich mal $\begin{eqnarray} d(x,\infty) := \frac{1}{1+\|x\|} \end{eqnarray}$ als Definition an (diesen Teil hatte BuzzDee vergessen) - richtig?
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22.11.2004, 20:57	BuzzDee	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm hast scho recht eigtl. aber mich verwirrt noch bissl dass $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ein element von X is. dann würds ja auch so ein (abgeschlossenes) intervall geben: [a, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ]... oder versteh ich das nur falsch o_O
22.11.2004, 21:01	BuzzDee	Auf diesen Beitrag antworten »
@ arthur dent: ja der abstand is wie folgt definiert: d(a,b):= $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+\|a\|} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R, b = \infty \end{eqnarray}$ d(a,b):= $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+\|b\|} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R, a = \infty \end{eqnarray}$ d(a,b):= 0 falls a=b=unendl. und dann noch was oben steht für a und b element R
22.11.2004, 21:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Tipp: Es ist $\begin{eqnarray} d(a,b) \leq d(a,\infty)+d(b,\infty) \end{eqnarray}$ für alle reellen a,b (Metrik-Dreiecksungleichung). Damit sollte der Nachweis der Cauchy-Eigenschaft der Folge a_n = n kein allzu großes Problem mehr sein. Was der Grenzwert von (a_n) ist, sollte inzwischen jedem klar sein...

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