Noch ein Problem: Peanoaxiome |
| 22.11.2004, 20:56 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Noch ein Problem: Peanoaxiome habe wieder ein Problem: man kann die Menge N durch Peanoaxiome darstellen: 0 ist kein Nachfolger es gibt eine Funktion s: N --> N, die Nachfolgerfunktion. dann ist 1 := 0´ 2 := 1´ ... man weiss ausserdeem: m + 0 := m und m + (n´) := (m+n)´ Folgende Axiome habe ich schon bewiesen: a) Alle n € N \ {0} sind Nachfolger b) 0 +n = n c) m +n = n +m d) (l+m)+n = l +(m+n) Nur allein mit diesen Angaben soll ich nur folgende beweisen 1. Es gilt die Kürzungsregel : m+k=n+k => m=n 2. m+n=0 => m=0=n 3. m < n ist genau dann, wenn es ein k € N gibt mit n=m+k . Für beliebige k,m,n gilt : - k < m, m< n => k < n, - m < n <=> m+k < n+k - Es gilt genau eine der folgenden drei Beziehungen: m<n, m>n, m=n , - Es gibt kein l mit n < l < n+1 Info: alle aufgeführten Elemente gehören zu N u {0} [] Also zuerst mal weiss ich nicht ob ich bei 3. die 4 Eigenschaften beweisen muss,... zu 1. heir denke ich kann ich das unteranderem mit hilfe des assoziativgesetz zeigen. zu 2. hier denke ich muss ich einfach nur sagen(zeigen) dass wenn m+n=0, m und n keine Nachfolger sein können da das Resultat 0 ein Nachfolger ist. Hoffe ihr könnt mir Tipps geben danke mfg gecko |
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| 23.11.2004, 19:18 | ganymed | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Gecko, das erste hab ich mit vollständiger Induktion bewiesen. Induktionsanfang ist k=0. Dann ist m+0=n+0. D.h. m=n Also ist die Aussage für k=0 richtig. Als Induktionsschritt setze ich k-> k+1 Dies bedeutet dann: m+(k+1)=n+(k+1) Nun kann man die Klammern umsetzen. Der Rest ist ja klar. Für das zweite hab ich verwendet: m+0=m Bei 3. muß man alle 4 Sachen zeigen. Die ersten zwei sind mir auch klar. Aber nicht die letzten beiden. für 1. hab ich z.z. k<m, m<n => k<n Die Voraussetzungen bedeuten ja nach den Anordnungsaxiomen (Forster), dass m-k>0 und n-m>0 => (m-k)+(n-m) = n-k >0, d.h. k<n Bei 2. geht es genauso. LG ganymed |
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| 23.11.2004, 21:18 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Axiome kann man nicht beweisen!! |
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