Folgende Behauptungen sind zu beweisen (widerlegen - Gegenbeispiel) Grenzwert von Folgen

22.11.2004, 21:26

Berliner1982

Folgende Behauptungen sind zu beweisen (widerlegen - Gegenbeispiel) Grenzwert von Folgen

Aufgabe 1.)

Sei (a_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Folge mit a_n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x \end{eqnarray*}$ a_n = a. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x \sqrt{a_n} = \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ist.

Aufgabe 2.)

Seien (a_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und (b_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ reelle Folgen. Beweisen Sie bzw. geben Sie ein Gegenbeispiel an für jede der folgenden Behauptungen:

a.) (a_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und (b_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergieren genau dann, wenn (a_n + b_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und (a_n - b_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergieren.

b.) Wenn (a_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und (b_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ divergent sind, so auch (a_n + b_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und (a_n - b_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

c.) (a²_n) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn ( $\begin{eqnarray*} \mid a_n \mid) \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergiert.

d.) Ist (a_n+1 - a_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, so konvergiert (a_n) n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Bei 2.c.) würde ich mal behaupten, dass die Aussage falsch ist, was man mit den Folgen a_n = (-1) hoch n und b_n = (-1) hoch n+1 widerlegen kann, da dann (a_n + b_n) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Bei 2.d.) würde ich zumindestens behaupten dass die Aussage wahr ist.

Allerdings würden mir schlüssige Beweise sehr weiterhelfen.

22.11.2004, 21:53

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RE: Folgende Behauptungen sind zu beweisen (widerlegen - Gegenbeispiel) Grenzwert von Folgen

Zitat:

Original von Berliner1982
Bei 2.d.) würde ich zumindestens behaupten dass die Aussage wahr ist.

Da liegst du falsch!

22.11.2004, 22:03

murray

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RE: Folgende Behauptungen sind zu beweisen (widerlegen - Gegenbeispiel) Grenzwert von Folgen
$\begin{eqnarray*} \lim_[n \to \infty](a_{n+1}-a_{n}) \end{eqnarray*}$ könnte man als Steigung beizeichnen!
Und somit könnte man die gleichgut definieren: $\begin{eqnarray*} g_{n}=a_{n+1}-a_{n} \end{eqnarray*}$

Und die Reihe hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} a_{N}=\sum_{n=0}^{N}~g_{n} \end{eqnarray*}$

und nur weil g gegen 0 geht ist sie noch lange nicht konvergent!

mfg

22.11.2004, 22:21

Berliner1982

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@murray

Hast du denn ein Gegenbeispiel für 2.d.)

22.11.2004, 23:01

murray

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Nein! Aber ich müsste einfach eine Folge definieren, die die Eigenschaft z.B.:
$\begin{eqnarray*} a_{n}-a_{n-1}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ hat!
Dann wäre nämlich aussage 2d falsch

mfg

22.11.2004, 23:08

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Für bestimmte Exponenten s (welche?) klappt auch a_n = n^s als Gegenbeispiel für 2d).

22.11.2004, 23:19

murray

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Mal 2a und b sind glaub ich falsch! Weil $\begin{eqnarray*} a_{n}=n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_{n}=-n \end{eqnarray*}$ sind divergent aber Summe nicht!

mfg

24.11.2004, 20:38

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Zitat:

Original von murray
Mal 2a und b sind glaub ich falsch! Weil $\begin{eqnarray*} a_{n}=n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_{n}=-n \end{eqnarray*}$ sind divergent aber Summe nicht!
mfg

(a_n-b_n) ist in deinem Beispiel divergent, also ist das KEIN Gegenbeispiel für 2a)

(Lies dir mal die rechte Seite der Äquivalenz von 2a GENAU durch, im Hinblick auf Aussagenlogik!)

24.11.2004, 20:55

murray

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@AD: Hast recht! Zuerst lesen, dann denken, dann schreiben! Augenzwinkern

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