Wurzeln und Logarithmen

22.11.2004, 22:54

wurzelknirps

Wurzeln und Logarithmen

Hallo,

ich weiss einfach nicht mehr weiter, deshalb noch eine Frage heute:

gegeben ist die Aufgabe: Bestimmen der Nullstellen der folgenden Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=f(x)=(e^{2x}- e^x -6)*ln\frac{((x-1)\sqrt{x})}{\sqrt{x-1}} \end{eqnarray*}$

Gut, den ersten Teil der Funktion, da kann man $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ substituieren, dann die quadratische Gleichung lösen und bekommt L={-2,3} heraus, davon kann man aber nur ln(3) verwenden, das wäre eine Nullstelle.

Aber was mache ich denn nur mit dem zweiten Teil der Gleichung?

$\begin{eqnarray*} ln\frac{((x-1)\sqrt{x})}{\sqrt{x-1}}=0 \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \frac{((x-1)\sqrt{x})}{\sqrt{x-1}}=1 \end{eqnarray*}$

Ab hier bin ich mit Blindheit geschlagen, wie stelle ich das denn nur nach x um, damit ich die Nullstelle berechne? unglücklich

Vielleicht kann mir nochmal jemand auf die Sprünge helfen?

auf viermal vier Knien rutschend
der knirps

22.11.2004, 23:02

grumml

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...du multiplizierst erst mal die wurzel... dann is quadrieren nie verkehrt bei wurzeln und dann läst sich was kürzen um die polinomdivision zu umgehen...

müsste doch machbar sein, oder übersehe ich da n hintertürchen?

grummlt...

22.11.2004, 23:30

wurzelknirps

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hm ..

meinst Du:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-1)\sqrt{x} = \sqrt{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((x\sqrt{x})-\sqrt{x})^2 = (\sqrt{x-1})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2*x-2x\sqrt{x}\sqrt{x}+x = x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3-2x^2+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(x^2-2x+1)=0 \end{eqnarray*}$ für x(1) = 0

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

hm.. da habe ich wohl was falsch gemacht, aber ich sehe nicht was.

Hinten steht als Lösung:

$\begin{eqnarray*} x1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}; x2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

x2 soll keine Lösung sein.

Mir schwinden die Sinne ..
der knirps

23.11.2004, 07:18

grumml

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...wie wird denn aus einem produkt plötzlich eine differenz?

23.11.2004, 08:28

wurzelknirps

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Zitat:

Original von grumml
...wie wird denn aus einem produkt plötzlich eine differenz?

Grumml .. was meinst Du damit?

(a-1)*b ist doch ab-b .. ich habe jetzt keine Idee mehr unglücklich

ein knirps

23.11.2004, 08:54

JochenX

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mist hatte meine antwort schon fast fertig und habe dann den browser geschlossen, also auf ein neues. unglücklich

dein ansatz ist gut, aber dann machst du einen fehler.
$\begin{eqnarray*} x^3-2x^2+1=0 \end{eqnarray*}$
hier klammerst du x links aus, aber das steckt ja in 1 gar nicht drin.
du musst also wohl oder übel auf Polynomdivision zurückgreifen, nachdem du die nullstelle 1 erraten hast...
danach bekommst du 2 weitere lösungen.
im endeffekt kannst du 2 davon (1 und 1-Wurzel5, falls deine zahlen stimmen) gleich abtun, da in der ausgangsgleichung natürlich x>1 sein muss (im reellen nur aus nichtnegativen zahlen wurzeln ziehen und im nenner darf zusätzlich nicht null stehen). mit der anderen musst du probe machen, da du quadriert hast und das keine äquivalenzumformung ist.
und siehe da, mit 1+wurzel5 klappt es wunderbar, das ist also deine andere lösung.

mfg jochen

23.11.2004, 17:53

grumml

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...NEIN.... es geht eben ohne Polinomdivision.... Du darsft nur das $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ nicht in die Klammer (x-1) reinmultiplizieren, sondern musst die beiden faktoren unabhängig voneinander quadrieren. Dann steht da:
$\begin{eqnarray*} (x-1)^{2} x = (x-1) \end{eqnarray*}$

Da kann man wohl kürzen und das hoch 3 is weg...

23.11.2004, 19:56

geostudentin

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du musst doch nur den teil gleich null setzen der über dem bruchstrich steht . das dürfte einfacher sein

23.11.2004, 20:08

Calvin

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@Geostudentin

Nein, das geht so nicht. Der Bruch steht im Logaritmus. Deshalb muß der Bruch 1 ergeben, damit der Logaritmus 0 wird. Der Nenner spielt dann eine wichtige Rolle.

24.11.2004, 22:30

wurzelknirps

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Zitat:

Original von grumml
...NEIN.... es geht eben ohne Polinomdivision.... Du darsft nur das $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ nicht in die Klammer (x-1) reinmultiplizieren, sondern musst die beiden faktoren unabhängig voneinander quadrieren. Dann steht da:
$\begin{eqnarray*} (x-1)^{2} x = (x-1) \end{eqnarray*}$

Da kann man wohl kürzen und das hoch 3 is weg...

Hallo grumml,

ich habe nun ein paar Stunden gebrütet .. und fühle mich schwächer als je zuvor, denn ich kann aus

$\begin{eqnarray*} (x-1)^{2} x = (x-1) \end{eqnarray*}$ die Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ nicht erkennen. Ich würde denken

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)^2x}{(x-1)}=1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (x-1)x=1 \end{eqnarray*}$

Was mich momentan völlig verrückt macht, mein erster Gedanke war dieser:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^{2} x = (x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-2x+1 = x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-2x+1-x+1 = 0 \end{eqnarray*}$

aber auch da komme ich nicht weiter, wenn ich die Gleichung lösen will komme ich auf keine Lösung in R

sollte ich mich doch aufs einmaleins beschränken traurig

knirps

24.11.2004, 22:50

grumml

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....hm.... also ich seh das Problem nicht... Lös doch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x-1)x=1 \end{eqnarray*}$

einfach mal auf und mit p,q Formel und so... und da kommt tatsächlich Dein Ergebnis raus... bei Deiner unteren Überlegung haste n x verschluckt.

grumml...

24.11.2004, 23:08

wurzelknirps

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ah wie wunderbar der Abend .. natürlich, man muss konsequent bleiben

$\begin{eqnarray*} (x-1)x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-x-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1\pm \sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank smile

ein glücklicher
knirps

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