Stammfunktion

22.11.2004, 23:06

homer

Stammfunktion

Naabend,

was ist Cos² intigriet bzw Stammfunktion

ich bekomme mit der partielle integration vollgendes raus

cos(x) * sin(x) + sin(x) * cos(x)

mathematica spukt follgendes raus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x * cos(x) * sin(x) \end{eqnarray*}$

THX
homer

22.11.2004, 23:11

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RE: Stammfunktion
Manchmal helfen Additionstheoreme:

$\begin{eqnarray*} \cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

22.11.2004, 23:16

homer

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Was sind Additionstheoreme?

22.11.2004, 23:24

murray

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zeig mal Rechenweg!

mfg

22.11.2004, 23:25

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Zitat:

Original von homer
Was sind Additionstheoreme?

Sammelbegriff für gewisse Umformungsregeln von Winkelfunktionen, hier z.B.

$\begin{eqnarray*} \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \end{eqnarray*}$

für y=x, usw.

22.11.2004, 23:32

Leopold

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@ homer

Wenn du dein Ergebnis zur Probe differenzierst, ergibt sich nicht das Gewünschte. Du mußt also bei der partiellen Integration einen Fehler gemacht haben. Nach der Produktregel bekommt man nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \left( 2 \sin{x} \cos{x} \right) = 2 \left( \cos^2{x} - \sin^2{x} \right) = 2 \left( \cos^2{x} - ( 1 - \cos^2{x} ) \right) = 4 \cos^2{x} - 2 \end{eqnarray*}$

Immerhin zeigt diese Rechnung, daß du durch Manipulation des konstanten Faktors Folgendes erreichen kannst:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \left( \frac{1}{2} \sin{x} \cos{x} \right)= \cos^2{x} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Und das ist ja schon fast das Gewünschte. Jetzt bringst du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite und integrierst unbestimmt. Dann steht dein Mathematica-Ergebnis da (allerdings mit $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ )

edit: latex-Codes verbessert, ich denk mal, es ist bekannt, dass ² in einigen Browsern nicht angezeigt wird Augenzwinkern

(MSS)

22.11.2004, 23:42

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \left( \frac{1}{2} \sin{x} \cos{x} \right)= \cos²{x} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

@Leopold
Dir ist dein LaTeX durcheinander geraten, ich korrigiere mal, damit homer nicht verwirrt ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \left( \frac{1}{2} \sin{x} \cos{x} \right)= \cos^2{x} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Mit
$\begin{eqnarray*} \int\limits~\cos^2 x~dx = \int\limits~\frac{1+\cos(2x)}{2}~dx \end{eqnarray*}$
kommt man ähnlich schnell zum Ziel.

22.11.2004, 23:44

Leopold

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@ Arthur Dent

Auf meinem Bildschirm sehen die beiden Formeln absolut gleich aus.

22.11.2004, 23:46

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Zitat:

Original von Leopold
@ Arthur Dent

Auf meinem Bildschirm sehen die beiden Formeln absolut gleich aus.

Du hast ² statt ^2 innerhalb der latex-Umgebung stehen.
Zumindest Firefox 1.0 toleriert das nicht und zeigt rechts vom Gleichheitszeichen nur "cos" an.

22.11.2004, 23:51

Leopold

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Da habe ich mich wohl verschrieben ...

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