Definition von Stetigkeit? |
| 23.11.2004, 00:05 | ---Gast--- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Definition von Stetigkeit? A function f(x) is continuous at x=c if and only if 1. f(c) exists 2. exists 3. = f(c) Irgendwie kapier ich so ziemlich gar nichts an der deutschen Definition (ich merk nur, dass sie komplett anders ist) Kann mir hier vielleicht jemand mal versuchen zu erklaeren, wie die deutsche Definition von Stetigkeit lautet und wo die Unterschiede zur amerikanischen Version sind? |
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| 23.11.2004, 00:08 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt viele verschiedene Definitionen von Stetigkeit, die alle äquivalent oder zumindest ansatzweise äquivalent sein sollten. Es gibt also nicht die deutsche und die amerikanische! Es gibt hier in diesem Fall halt nur die, die du in Amiland gelernt hast und die, die dein deutsches Buch vorschlägt. Diese müsstest du uns mal nennen, weil es wie gesagt, viele Definitionen von Stetigkeit gibt ... |
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| 23.11.2004, 00:11 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Definition von Stetigkeit?
??? Dann zitiere doch bitte mal auch die "deutsche Definition" ! |
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| 23.11.2004, 02:12 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition von Stetigkeit? Eine Fkt. f: D-> R (D Teilmenge von R) heißt stetig in c (wobei c Element von D), wenn gilt lim_(x->c) f(x)=f(c). Das ist ja nicht viel anders als deine: Zunächst kann sie nur an einer Stelle des Definitionsbereichs stetig sein, d.h. f(c) muss existieren. Auch muss natürlich lim_(x->c) f(x) existieren, und der grenzwert muss gleich f(c) sein. Eine viel anwendbarere Definition ist z.B.: f stetig in c, wenn für alle Folgen (x_n) mit mit x_n in D für alle n und lim x_n=c gilt lim f(x_n)=f(c). Damit kann man dann z.B. leicht ziegen, dass eine Funktion nicht stetig in einem Punkt ist, wenn man Links- und Rechtsseitigen Grenzwert unterschiedlich hat. Außerdem lässt sie sich gut anwenden, wenn man den n-dimensionalen Raum betrachtet. |
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| 23.11.2004, 22:11 | --Gast-- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich find in meinem Mathebuch keine eindeutige Definition, nur ueber ein paar Seiten ausgebreitete Erklaerungen, die ich jetzt aber nicht alle abtippe. Erstaunen tun mich eigentlich nur die Beispielgraphen, weil das Buch z.B. behauptet, dass die folgenden Funktionen stetig waeren, aber nach meiner "amerikanischen" Definition garantiert nicht stetig sind. f(x)= {quadratwurzel [(2x-1)/(2x+1)]}*(x+0,5) g(x)= 1/(4x+4) h(x)= (x^3-5x^2+6x)/(2-x) Ist noch jemand hier meiner Meinung, oder kann mir zumindest jemand erklaeren, warum die Graphen stetig sind? |
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| 23.11.2004, 22:14 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Funktionen sind stetig! Auch nach der "amerikanischen" Definition sind sie stetig. Warum glaubst du, sie seien nach der "amerikanischen" Definition nicht stetig?? 
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| 23.11.2004, 22:21 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@MSS Soweit ich weis, ist mal g(x) auf jeden Fall unstetig und die anderen haben eine Definitionslücke (auch wenn sie durch Polynomdivision weghebbar ist)! |
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| 23.11.2004, 22:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stetigkeit ist nur auf dem Definitionsbereich definiert, die Definitionslücken haben also nichts mit Stetigkeit zu tun. An welcher Stelle ist denn g(x) deiner Meinung nach unstetig? |
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| 23.11.2004, 23:10 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition von Stetigkeit? Die Funktionen sind stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen, d.h. rationale Operationen stetiger Funktionen bleiben stetig. Z.B. ist 1/(4x+4) stetig, da 1 f_1(x)=1 stetig ist, f_2(x)=4x+4 stetig ist und damit auch f_1/f_2. |
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| 23.11.2004, 23:13 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition von Stetigkeit? Die Funktionen sind stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen, d.h. rationale Operationen stetiger Funktionen bleiben stetig. Z.B. ist 1/(4x+4) stetig, da 1 f_1(x)=1 stetig ist, f_2(x)=4x+4 stetig ist und damit auch f_1/f_2. Übirgens oben vergessen: sog. epislon-delta-Definition von Stetigkeit: f stetig in a Elt. von Def.-Bereich, wenn zu jedem epsilon>0 ein delta>0 existiert, so dass abs(f(x)-f(a))<epsilon für alle x in Def.-Bereich mit abs(x-a)<delta. |
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| 23.11.2004, 23:15 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition von Stetigkeit? Eine Funktion mit einer Polstelle ist, wenn du mich fragst, nicht stetig! 1/(4*x+4) ist unstetig bei x=-1 @gegenkathete solange f_2(x)<>0 mfg |
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| 23.11.2004, 23:19 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diesen Standpunkt vertrete ich auch, aber vor allem bei z.B. 1/x sorgt das für heftige Diskussionen. Ich hatte eine letztes Jahr 
Ist natürlich alles eine Definitionsfrage.Gruß, therisen |
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| 23.11.2004, 23:20 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falsch! Sie ist weder stetig noch unstetig bei -1. Sie ist dort nicht definiert, was jede Untersuchung von Stetigkeit sinnlos macht, denn wenn eine Funktion in einem Puntk stetig oder unstetig sein soll, dann muss sie dort erstmal definiert sein! Eine Funktion f ist genau dann unstetig im Punkt c, falls gilt: 1. f ist in c definiert, es existiert also f(c). 2. existiert nicht oder bei Existenz ist @therisen Ja klar ist es Def.-sache. Aber heute ist das eigentlich so bekannt, dass nur für Werte aus dem Definitionsbereich die Stetigkeit diskutiert werden kann. Das mag vor 10-20 Jahren noch anders gewesen sein, wie Leopold mal erzählte. |
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| 23.11.2004, 23:31 | --Gast-- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die amerikanische Definition macht keine Ausnahmen aufgrund des Definitionsbereichs. Also wenn eine Funktion fuer ein oder mehrere Werte von x nicht definiert ist, dann ist sie auch nicht stetig. (1. amerikanische Bedingung: f(c) exists!) h(x)=(x^3-5x^2+6x)/(2-x) x=2 ist nicht definiert, wenn ich also c=2 nehmen wuerde, und dann die amerikanische Definition darauf anwende, komm ich zu dem Ergebnis, dass die Funktion an der Stelle unstetig ist, weil f(c) eben nicht existiert g(x)= 1/(4x+4) mal abgesehen davon, dass es wieder eine Definitionsluecke (diesmal fuer x=-1) gibt, gibt es auch keinen einheitlichen Grenzwert fuer x->-1, also ist die Funktion an der Stelle unstetig. |
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| 23.11.2004, 23:37 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition von Stetigkeit? Fkt kann nur stetig in Def.-Bereich sein. Interessant sind Fragen bei "komischen" Funktionen, die für Def.-Lücken einen Wert zugewiesen bekommen. Evtl. ist eine ansonsten stetige Funktion auch dort dann stetig. |
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| 23.11.2004, 23:47 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition von Stetigkeit? Wohl kaum! Denn das lässt sich mit der naiven Version nicht vereinheitlichen! Alle zeichenbaren Punkte einer Funkion könnten ohne Absetzen gezeichnet werden! Stetigkeit: @MSS: du hattest recht es muss bei x0 definiert sein sonst sinnlos! Edit: @Loed: Danke |
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| 24.11.2004, 12:27 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition von Stetigkeit? Vielleicht missverstanden? Betrachte Funktion . Diese ist für alle stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen. Nun definiere und damit insgesamt Die Funktion ist nun an der Stelle stetig (also an der Def.-Lücke von , nachdem sie dort einen Wert zugewiesen bekommen hat). Es gilt nämlich und auch . (Denn .) Das meinte ich... |
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| 24.11.2004, 12:33 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition von Stetigkeit? Ja! Wenn´s definierst passts scho! mfg |
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| 24.11.2004, 15:49 | --Gast-- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, um mal wieder zu meiner Frage zurueckzukommen: Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist die deutsche und die amerikanische Definition so ziemlich die gleiche, bis auf die Tatsache, dass die Deutschen sagen: Die Funktion ist an der Stelle nicht definiert, deshalb hat's keinen Sinn sie da auf Stetigkeit zu untersuchen (sie kann trotzdem stetig sein), und die Amis sagen: Die Funktion ist an der Stelle nicht definiert, deshalb ist sie unstetig. Hab ich das so richtig verstanden? |
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| 24.11.2004, 17:40 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, hast du nicht! In der Mathematik allgemein gibt es viele Definitionen von Stetigkeit, die aber alle einigermaßen äquivalent sind. Dabei gibt es solche, die an definierten Stellen keine Stetigkeitsuntersuchung zulassen und solche die dies tun. Allerdings haben deutsche und amerikanische Mathematiker eben nicht verschiedene Ansichten. Es kommt dabei nicht auf das Land an. Es gibt in Amerika sowohl die eine Definition mit Betrachtung von nichtdefinierten Stellen als auch die andere ohne diese Betrachtung. Gleiches gilt für Deutschland. Dein "Pech" ist also nur, dass du in der Schule in Amerika die eine Definition gelernt, in einem deutschen Lehrbuch die andere gefunden hast. Es hätte dir genauso passieren können, dass du in Deutschland die Definition, die du in Amerika gelernt hast, lernst und ein amerikanisches Buch dir die, die du im deutschen Buch gelesen hast, mitteilt. Es ist also keinesfalls länderbedingt!!! |
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| 24.11.2004, 19:17 | --Gast-- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, wenn ich das falsch ruebergebracht hab. Mit "deutsch" und "amerikanisch" hab ich nicht Deutschland und Amerika allgemein, sondern mehr mein deutsches und mein amerikanisches Mathebuch gemeint, ohne das aber jedesmal ausdruecklich zu schreiben, weils einfach kuerzer war. Aber wie ist das dann allgemein im Abi? Wenn es heisst: "Untersuchen sie folgende Funktion auf Stetigkeit" oder so. Waeren dann beide Ansaetze richtig? |
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| 24.11.2004, 19:20 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann musst du es so machen wie ihr (der Lehrer) es im Unterricht definiert habt (hat). |
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| 24.11.2004, 19:26 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder den Lehrer vom Gegenteil überzeugen! Wenn man alles hinnimmt, ohne zu hinterfragen stirbt man dumm! mfg |
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| 24.11.2004, 20:10 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@murray: kannst du deinen eintrag oben noch korrigieren? du hast da lim x-> x0 von f(x0), das muss natürlich lim x->x0 von f(x) heißen..... nur der korrektheit wegen! danke! mfg jochen edit: @murray: gern geschehen |
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| 24.11.2004, 21:53 | --Gast-- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Koennte man im Abi theoretisch auch eine andere Definition von Stetigkeit benutzen und dann argumentieren, dass die in gewissen anderen Teilen der Welt benutzt wird? Waer das dann grundsaetzlich falsch? (Ich moechts zwar lieber net ausprobieren, aber es waer mal interessant zu wissen) |
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| 25.11.2004, 01:10 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kennst du den Witz vom Physiker (oder, um schon mal witzig anzufangen: Füsiker), Chemiker und Mathematik? Die drei bekommen die Aufgabe, eine Herde Rinder einzuzäunen. Weiß nicht genau, was der P und der C machen, aber der Mathematiker umzäunt sich, definiert sich als außen und hat so die Herde eingezäunt. Also deine Def. hinschreiben und dann argumentieren, dass dieser Def. folgend Stetgkeit voirliegt oder nicht. Das sollte dann allerdings stimmen! |
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| 25.11.2004, 13:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man so rangeht, kann man ja dann in der Arbeit Stetigkeit eigentlich definieren, wie man will. Wenn da dann die Aufgabe steht: "Zeige, dass die Funktion stetig ist." Dann würd ich einfach hinschreiben: Eine Funktion ist stetig, wenn sie jedem x e D ein y e W zuordnet. Dann ist die Funktion trivialerweise stetig *g* Nein, ernst: Eigentlich müsste der Lehrer vorher genau sagen, was Stetigkeit ist und dann musst du auch diese Definition benutzen! Oder er schreibts in der Arbeit drüber. |
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