diffeomorphismen / harmonische fkt.

23.11.2004, 03:00

schnitzelchen

diffeomorphismen / harmonische fkt.

hallo leute . .

ich hab hier 2 aufgaben an denen ich schon ne zeit lang hänge(und mittlerweile verzweifle, da ich morgen früh etwas gazu sagen muss. .) . . Hilfe

1. Seien $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ Diffeomorphismen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ .
a) ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus?
b) ist $\begin{eqnarray*} \psi^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus?

2. Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^n ->\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine 2-fach stetig diffbare Funktion und sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ die Hesse-Matrix der 2ten Ableitungen
a) ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann harmonisch, wenn die Spur von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ verschwindet?
b) ist die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ definierte Funktion $\begin{eqnarray*} x\to e^{-||x||} \end{eqnarray*}$ harmonisch?

...hmm zu
1a) k.a.
1b) hab die Definition, dass wenn eine bijektive $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Abb. $\begin{eqnarray*} \phi : U \to V \end{eqnarray*}$ einer offenen Menge U auf eine offene Menge V Diffeomorphismus heißt, wenn die Umkehrung $\begin{eqnarray*} \phi^{-1}: V \to U \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Abbildung ist. $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ ist der VR der 1 mal diffbaren fkt.
Aber ist denn die Umkehrung von $\begin{eqnarray*} \phi^{-1} \end{eqnarray*}$ auch eine $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Abbildung ? ...hää? . . .

2a)..ich glaube, dass das stimmt, weil doch bei den in der Spur von H aufsummierten elementen es sich um die 2ten abl. nach d. gleichen var. handelt, und deren summe sich zu 0 ergänzen soll laut Laplace-Gleichung. . .die wiederum Bedingung für die harmonische fkt ist. . stimmt das??
2)b) . . .. hmm . . .nach langem gkritzel: ...glaube nicht. . . ...*aber bin ich mir sicher?* . . - nein!

...wär echt nett, wenn jemand für etwas klarheit sorgen könnte. . .THX

25.11.2004, 09:41

Raumpfleger

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: diffeomorphismen / harmonische fkt.
Hallo Schnitzelchen,

Zitat:

Original von schnitzelchen
1. Seien $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ Diffeomorphismen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ .
a) ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus?
b) ist $\begin{eqnarray*} \psi^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus?

...hmm zu
1a) k.a.
1b) hab die Definition, dass wenn eine bijektive $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Abb. $\begin{eqnarray*} \phi : U \to V \end{eqnarray*}$ einer offenen Menge U auf eine offene Menge V Diffeomorphismus heißt, wenn die Umkehrung $\begin{eqnarray*} \phi^{-1}: V \to U \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Abbildung ist. $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ ist der VR der 1 mal diffbaren fkt.
Aber ist denn die Umkehrung von $\begin{eqnarray*} \phi^{-1} \end{eqnarray*}$ auch eine $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Abbildung ? ...hää? . . .

1a) die Addition stört die C^1 Eigenschaft nicht; es hängt noch davon ab, ob mit $\begin{eqnarray*} v_{1}, v_{2} \in V \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} v_{1} + v_{2} \in V \end{eqnarray*}$ gilt, analog für U. Wenn nicht, würde $\begin{eqnarray*} \phi + \psi \end{eqnarray*}$ kein Diffeomorphismus bzgl. der ursprünglichen Mengen U und V sein.
1b) Was ist denn die Umkehrung von $\begin{eqnarray*} \phi^{-1} \end{eqnarray*}$ , doch wohl
$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ? Oder seid ihr in so allgemeinen Räumen, dass das nicht mehr gilt? Und wurde nicht $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in der von Dir zitierten Definition als C^1 Funktion vorausgesetzt? Wo ist das Problem jetzt?

25.11.2004, 22:04

quarague

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1)
es ist $\begin{eqnarray*} ( \phi + \psi) ^{-1} = \phi^{-1}+ \psi^{-1} \end{eqnarray*}$
damit folgt a)
b) ist nur die Aussage das $\begin{eqnarray*} \phi ^{-1^{-1}}= \phi \end{eqnarray*}$

2)
a) ist so wie du geschrieben hast, harmonisch heisst Summe der 2 partiellen Ableitungen = 0 und die Spur der Hesse Matrix ist auch die Summe der 2 partiellen Ableitungen, das ist fast tautologisch.
b) ist zwar mühselig aber bei 2 mal differenzieren komme ich auch auf nicht harmonisch

29.11.2004, 01:10

schnitzelchen

Auf diesen Beitrag antworten »

....vielen dank an alle helfer . . .. !!! Prost

Neue Frage »

Antworten »

diffeomorphismen / harmonische fkt.

Verwandte Themen