faltung

23.11.2004, 11:23

Wetterfee

faltung

hi matheprofis . . .

Ich bin gerade am Ma-lernen und frage mich, wie man das Distributivgesetz/Asooziativgesetz für die Faltung zeigt . verwirrt

. .also:

a,b,c sind definiert auf R^n und integrierbar . .

(a+b)*c=a*c+b*c (Distr.)
a*(b*c)=(a*b)*c (Assoz.)

HAt jemand ein paar Tipps für mich?

Vielen Dank im Voraus .. . wetterfee

23.11.2004, 12:00

klarsoweit

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RE: faltung
Wie ist Faltung definiert?

23.11.2004, 14:16

Wetterfee

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Seien f,g integrierbare Fkt., dann ist die faltung definiert durch:

$\begin{eqnarray*} f*g(x):=\int_{}^{}~f(x-y)g(y)~dy \end{eqnarray*}$

...hab mir auch die 2 gesetze damit aufgeschrieben, aber die argumentation. . . .hmm Forum Kloppe

23.11.2004, 15:43

klarsoweit

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dann schreib mal hin, was du hast.
Zumindest das Distributivgesetz ist maximal ein 2-Zeiler.

23.11.2004, 19:58

Wetterfee

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...mein hauptprobem ist das richtige hinschreiben . . .:

z.B dieses f(x-y) . . . .wie kann ich das durch den (a+b)-term ausdrücken? vielleicht (a+b)(x-y) ?? ..

also wenn das stimmt, dann kommt folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(a+b)(x-y)c(y)~dy = \int_{}^{}~a(x-y)c(y)~dy + \int_{}^{}~b(x-y)c(y)~dy \end{eqnarray*}$

der (a+b)(x-y)-term auf der linken seite sieht jetzt sehr verdächtig aus .. . die Frage ist : kann man ihn irgendwie getrenns schreiben und nach welchem satz ?? . . . weil man ja dann alles unter dem linken integral als sume schreiben kann - dann 2 integrale daraus machen kann und schliesslich siehts aus wie die linke seite. . . . . .hmmm aber ist das ueberhaupt richtig bisher ? ??

24.11.2004, 06:54

Ika1979x

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Du musst für f+g = A einsetzten.
Dann sieht das so aus: A*h(n) = Integral| A(x,y) h(n-d(x,y)) dxdy

d(x,y)=Metrik

Dann bildest du: Integral|A*h(n) dn = Integral| A(x,y) h(n) dxdydn
= Integral| A(x,y) dxdy * Integral|h(n)dn

Dann musst du für A wieder f+g einsetzten und den weg wieder zurück.

24.11.2004, 09:54

klarsoweit

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Also gut, fürs Distributivgesetz schreibe ich mal den Anfang hin:
$\begin{eqnarray*} ((a+b)*c)(x) = \int_{}^{}~((a+b)(x-y))c(y)~dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{}^{}~(a(x-y) + b(x-y))c(y)~dy \end{eqnarray*}$ = ...
Der Rest entspricht dann dem, was du schon geschrieben hast.
Allerdings mußt du das noch zu Ende führen.

Zitat:

Original von Wetterfee
der (a+b)(x-y)-term auf der linken seite sieht jetzt sehr verdächtig aus .. . die Frage ist : kann man ihn irgendwie getrenns schreiben und nach welchem satz ?? . . . weil man ja dann alles unter dem linken integral als sume schreiben kann - dann 2 integrale daraus machen kann und schliesslich siehts aus wie die linke seite. . . . . .hmmm aber ist das ueberhaupt richtig bisher ? ??

Wo genau hast du Bedenken?

24.11.2004, 14:18

Raumpfleger

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Hallo Wetterfee,

das Distributivgesetz der Faltung beruht darauf, dass das Distributivgesetz auch unter dem Integral gilt und dann die Summanden einzeln integriert werden können - wie bereits bemerkt, ein Zweizeiler.

Das Assoziativgesetz beruht auf Eigenschaften der Definition, logischerweise (sonst ist ja nix bekannt); es gibt verschiedene Faltungen, mit Integrationsintervall über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder nur über ein endliches Intervall [0, t]. Nehmen wir den ersten Fall, dann erstmal durch einfaches Schreiben

$\begin{eqnarray*} (f * g)(x) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x - y) g(y) dy \end{eqnarray*}$

somit

$\begin{eqnarray*} (f * g)(x - x_{0}) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x - x_{0} - y) g(y) dy = \int_{-\infty}^{\infty} f(x - y) g(y - x_{0}) dy \end{eqnarray*}$

letzteres sieht man bei der Substitution $\begin{eqnarray*} x_{0} + y = z \end{eqnarray*}$ mit anschliessender Rückbenennung $\begin{eqnarray*} z \to y \end{eqnarray*}$ . Das sollte als Hinweis reichen - bitte nur im Notfall weiterlesen!

Nun muss man die Doppelfaltung aufschreiben und das geschieht dadurch, dass man in der Definition einmal f und einmal g durch eine weitere Faltung ersetzt, mit anderen Worten:

$\begin{eqnarray*} ((h * f) * g)(x_{1}) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty}h(x_{1} - x_{0} - x_{2}) f(x_{2}) dx_{2}\right) g(x_{0}) dx_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (h * (f * g))(x_{1}) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x_{1} - x_{0}) \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x_{0} - x_{2}) g(x_{2}) dx_{2} \right) dx_{0} \end{eqnarray*}$

In der letzten Gleichung vertauscht man $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ , lässt auch die Klammern weg und sieht dann, dass die Beziehung (Assoziativität) für jedes festgehaltene $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ gilt, falls

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} h(x_{1} - x_{0} - x_{2}) f(x_{2}) dx_{2} = \int_{-\infty}^{\infty} h(x_{1} - x_{2}) f(x_{2} - x_{0}) dx_{2} \end{eqnarray*}$ gilt, was aber schon gleich am Anfang festgestellt wurde.

28.11.2004, 14:09

Wetterfee

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vielen danq für die ausführlich-anschauliche erklärung . .. !! smile

das distributiv-gesetz hatte ich schon so gemacht. . . und das assoziativgesetz ueber eine transformation, die jedoch nix anderes als deine substitution gemacht hat. . dein weg ist jedoch eleganter

nochmal danke !!!

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