Wie Grenzwert "sauber" berechnen

13.04.2007, 11:04	Tomatonno	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Grenzwert "sauber" berechnen Es geht um folgendes Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x^{2x} \end{eqnarray}$ und x>0 Wie bekommt man hier stratisch und mathematisch einigermaßen sauber schnell den Grenzwert raus. Was ich mache ist halt kurz hingucken, bisschen im Taschenrechner probieren und dann kommt man halt schnell auf die Lösung. Aber wie würde man hier korrekt rangehen? Ich frage das, weil jetzt auch Aufgaben kommen wo das nicht mehr so mit hingucken geht^^
13.04.2007, 11:16	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^{2x}=e^{2x\ln{x}} \end{eqnarray}$ Kennst Du $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0^+}x\ln{x} \end{eqnarray}$ ?
13.04.2007, 11:18	Tomatonno	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Hast du ein Schlagwort dazu, dann kann ich mich ja mal schlau machen.
13.04.2007, 13:54	Tomatonno	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir das keiner erklären? Kann damit leider nichts anfangen.
13.04.2007, 15:45	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x\searrow 0}~x\cdot \ln(x)=0 \end{eqnarray}$ Nachweis z.b. durch LHospital.
14.04.2007, 13:04	Tomatonno	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nur Bahnhof sorry. Hat vielleicht jemand einen Link wo ich das ausführlicher nachlesen kann?
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14.04.2007, 13:12	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau verstehst du nicht ? Ich kann dir nicht einfach sämtliche Links, die ich über "Limes" "e-Funktionen" o.ä. habe reinkopieren, denn das sind viele. Ausserdem denke ich, hier kann es dir auch erklärt werden. Aber dazu musst du in mehr als einem Satz beschreiben wo der Hase im Pfeffer liegt.
14.04.2007, 14:08	Tomatonno	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, also als erstes soll ich umformen $\begin{eqnarray} x^{2x} = e^{2xlnx} \end{eqnarray}$ Warum tue ich das, also woher weiß ich das ich das tun muss? Und wie tue ich das, was ist das für ein Schritt?
14.04.2007, 14:12	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus oder ? $\begin{eqnarray} e^x&=&y\\x&=&\ln(y) \end{eqnarray}$ Daraus folgt das $\begin{eqnarray} e^{\ln(x)}=\ln\left(e^x\right)=x \end{eqnarray}$ gilt wegen Umkehrfunktion. Folgtlich kannst du $\begin{eqnarray} x^a \end{eqnarray}$ umschreiben zu $\begin{eqnarray} e^{a\cdot \ln(x)} \end{eqnarray}$ . Der vorteil ist, man hat jetzt nichtmehr "irgendein" $\begin{eqnarray} 0^0 \end{eqnarray}$ dastehn sondern ein "bekanntes" $\begin{eqnarray} e^{0\cdot (-\infty)} \end{eqnarray}$ und das ist in dem Sinne angenehmer, weil man den Ausdruck evtl. schon des öfteren bestimmt hat.
14.04.2007, 14:59	Tomatonno	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, also das mit dem Logarithmus hab ich so bisher noch nicht gesehen bzw. mal irgendwo benutzt. Also ist der Grenzwert 1 richtig?
14.04.2007, 15:14	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.

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