absolute Konvergenz

23.11.2004, 16:25	Marstall	Auf diesen Beitrag antworten »
absolute Konvergenz Hallo! Habe da eine Übungsaufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Villeicht kann mir ja hier jemand helfen?! Aufgabe: Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussagen: a.)Ist $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray}$ absolute konvergent und $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ beschränkt, so konvergiert $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~(a_nb_n) \end{eqnarray}$ b.)Ist $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray}$ konvergent und $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ beschränkt, so konvergiert $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~(a_nb_n) \end{eqnarray}$ Vielen lieben Dank für jedwede Hilfe!
23.11.2004, 16:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: absolute Konvergenz a.) ist richtig und b.) falsch. Ein Hinweis zur Angabe eines Gegenbeispiels für b): Such dir einfach eine konvergente, aber nicht abolut konvergente Reihe (Summe a_n) und wähle b_n=+/-1 so, dass a_n b_n = \| a_n \| gilt.
24.11.2004, 11:41	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: absolute Konvergenz a.) b_n ist beschränkt. Es gibt also ein reelles C mit C > Betrag von b_n für alle n. Damit solltest Du weiterkommen. b.) betrachte a_n:=((-1)^n)/n und b_n:=(-1)^n
25.11.2004, 16:54	Marstall	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ok, den Beweis zu a habe ich. Aber das Gegenbeispiel leuchtet mir nicht ein: $\begin{eqnarray} a_n=\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n=(-1)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty~a_nb_n=\frac{(-1)^n}{n}(-1)^n= \frac{(-1)^{2n}}{n} \end{eqnarray}$ was aber doch wieder konvergent ist. Was mache ich falsch?
25.11.2004, 17:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (-1)^{2n}=1 \end{eqnarray}$ , und die dann dastehende harmonische Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ divergiert bekanntermaßen.

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