Extremwertaufgabe - Kegel in Kugel |
11.04.2007, 10:30 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
komplexere Extremwertprobleme "eine Metallkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Kegel mit möglichst großem Volumen ensteht. Wie sind Höhe und Radius des Kegels zu wählen?" Hört sich einfach an, ist es vielleicht sogar auch für viele. Ich komm nur so schlecht ohne Zahlen klar :l Kann mir jemand vielleicht Hilfe leisten? Vielen Dank im vorraus! |
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12.04.2007, 21:09 | cleverclogs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dies ist eine klassische Aufgabe und ist ganz bestimmt in den meisten Lehrbücher zu finden! cleverclogs |
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13.04.2007, 12:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Liselow: für neue Aufgaben solltest du besser auch einen neuen Thread aufmachen. zur Aufgabe: wie immer hilft eine Skizze. Die Arbeit habe ich mal für dich gemacht. In der Skizze sind: Strecke AB: der Radius r des Kegels Strecke BC: die Höhe h des Kegels Strecke AM: der Radius R der Kugel Jetzt stelle eine Formel für das Volumen des Kegels auf und bringe die Größen R, r und h über eine Formel in Beziehung. Tipp: Satz des Pythagoras. |
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13.04.2007, 14:51 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Volumen eines Kegels: V=1/3 G*h Da die Grundfläches eines Kegels ein Kreis ist -> folglich ist das Volumen des Kegels = Strecke MB ( h des Dreiecks AMB) ModEdit: LaTex verbessert. Du musst den LaTex-Term zwischen
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13.04.2007, 14:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erstens müßte es R² - r² = (Strecke MB)² heißen und zweitens ist die Bezeichnung h ungünstig, weil ich h schon für die Strecke BC = Höhe des Kegels verwendet habe. Wenn wir die Strecke MB mit h2 bezeichnen, dann haben wir: Drücke nun h_2 durch h und R aus. Bedenke: auch die Strecke MC ist gleich R. |
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13.04.2007, 16:08 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist die Höhe des Kegels nicht R+Wurzel aus {R^2-r^2} ? |
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13.04.2007, 16:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das ist sie. Versuche nun jetzt mal LaTex. Sh. ModEdit in deinem Beitag davor. Wurzel = \sqrt{...} mY+ |
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13.04.2007, 16:13 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
13.04.2007, 16:38 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
13.04.2007, 23:05 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun gut wir haben die Höhe, auch im Verhältnis zum Radius. Jetzt müssen diese so gewählt werden, dass das Volumen des Kegels gleich maxium ist. Oder haben wir das dadurch schon erledigt?*mal ganz dumm frag* |
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14.04.2007, 03:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sicher nicht, denn jetzt geht's erst richtig los Diese Beziehung, die du jetzt errechnet hast, ist erst die Nebenbedingung. Falls du nun mit der Wurzel weiterrechnest, wirst du in arge Schwierigkeiten kommen, denn die Rechnerei wird bald ziemlich wüst, wenn nicht gar unlösbar. Daher formst du (die Nebenbedingung) etwas um (ein Trick, den man sich merken sollte): jetzt reduziert sich ... und nun bist du am Zug! mY+ |
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14.04.2007, 04:19 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist das nicht zu kompliziert ? Wenn du die Strecke MB als freie Variable x einführst dann lässt sich die Volumenformel 'direkt' hinschreiben. V(x) = h*G/3 = (R+x) * (R^2-x^2)*pi / 3 ... ... |
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14.04.2007, 09:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Poff: Ich gebe zu, daß dein Weg eine Idee direkter ist. Aber als sonderlich kompliziert würde ich den bislang gezeigten Lösungsweg nicht ansehen. Und da ich mir die Mühe gemacht hatte, eine Skizze zu erstellen, wäre es schön, wenn man die dort eingeführten Bezeichnungen jetzt mal beibehalten könnte. Mit "meinen" Bezeichnungen haben wir für das Kegelvolumen: Aus der Nebenbedingung wissen wir: Das noch nach r² umstellen und in die Formel für das Volumen einsetzen. |
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14.04.2007, 12:51 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
-> -> Nun in die Formel für das Volumen eingesetzt -> |
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14.04.2007, 15:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da hast du was vergessen: Ansonsten ok. Das Volumen V ist jetzt nur noch von h abhängig. Alles andere sind Konstanten. Mit den Methoden der Differentialrechnung kannst du davon das Maximum bestimmen. |
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15.04.2007, 14:09 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
notw. Bed.: V'(h)= V'(h)=0 Nullstellen: x1= x2=0 hinr.Bed.: V''( V''(0)= 4,19*R soweit so gut? |
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15.04.2007, 14:13 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das müsste notw. Bed.: V'(h)= heißen |
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15.04.2007, 17:26 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das würde ja quasi heiße, das Maximum von h ist gleich: wenn ich nun aber den gleichen weg mit dem Radius versuche, d.h. h in der V(h)-Gleichung ersetzt, mit Ableitungen und allem, kommt nur Quark raus |
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15.04.2007, 19:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Besser: notw. Bedingung für Extremwert: V'(h)=0
Wieso? Wo kommt denn die 4,19 her? Nebenbei geht es nicht um das Maximum von h, sondern um das maximale Volumen des Kegels.
Verstehe nicht, was du da rechnest. |
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15.04.2007, 20:08 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja aber die Höhe h und der Radius sollen ja so gewählt sein, dass das Volumen maximal wird. Also müssen wir h und r bestimmten. 4,19*R kommt von der hinreichenden Bed. wenn ich einsetze. |
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16.04.2007, 09:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also irgendwie ist mir das ganze zu chaotisch. Ich fasse daher mal zusammen: Wir haben Aus notwendiger Bedingung V'(h)=0 folgt: oder h=0 ==> Minimum ==> Maximum Bitte Ausdrücke mit pi stehen lassen und nicht ausrechnen, sonst muß man sich fragen, wo so (im Grunde falsche) Zahlen wie 4,19 herkommen. |
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16.04.2007, 14:05 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, jetzt wird das ganze gleich viel klarer Und wie kommt man nun auf h bzw. r? |
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16.04.2007, 14:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verstehe die Frage nicht. Welches h bzw. welches r? |
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16.04.2007, 16:19 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
siehe Aufgabe |
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16.04.2007, 19:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Entschuldige bitte, aber du solltest auch etwas tun. Und das mindeste wäre, daß du das, was du nicht verstehst, mindestens mal mit 2 bis 3 Sätzen erläuterst. Wir haben oben ausgerechnet, daß bei ein Maximum ist. Jetzt brauchst du das für das r nur einsetzen:
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16.04.2007, 20:12 | Liselow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich entschuldige mich, für meine schnelle Antwort. Ich war da grad auf dem Sprung... Ich danke euch und vorallem dir/Ihnen klarsoweit für die Hilfe bei der Aufgabe. Das hat mir quasi den "Arsch" gerettet. Vielen herzlichen Dank! |
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