Glücksrad - Problem mit Abiaufgabe

13.04.2007, 13:37

Zellerli

Glücksrad - Problem mit Abiaufgabe

Aus dem LK-Abitur Bayern 2000 Stochastik IV:

Auf einem Glücksrad sind vier gleich große Sektoren mit den Buchstaben
E, U, R und O markiert. Nach jeder Drehung wird der angezeigte Buchstabe
notiert.
Das Glücksrad wird als ideal vorausgesetzt. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
[E1 bis E3 weggelassen]
E4: „Nach fünf Drehungen kann man aus den notierten Buchstaben
unter Weglassen eines Buchstabens das Wort EURO bilden“.
[Ergebnis P(E4) = 15/64]

Mein Ansatz war folgender (Laplace):
Es muss das Wort EURO zustande kommen.
$\begin{eqnarray*} 4! \end{eqnarray*}$ (erst 4, dann 3, ... Möglichkeiten weil kein Buchstabe doppelt)

Man hat einen "Freidreher", der darf jeden Buchstaben ausgeben.
$\begin{eqnarray*} \cdot 4 \end{eqnarray*}$

Dieser "Freidreher" kann an jeder der 5 Stellen auftauchen:
$\begin{eqnarray*} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Nenner dann die Anzahl aller möglichen Ereignisse:
$\begin{eqnarray*} 4^{5} \end{eqnarray*}$

ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{4! \cdot 4 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}}{4^{5}} = \frac{30}{64} \neq \frac{15}{64} \end{eqnarray*}$

Meine Theorie ist, dass die genau doppelt so große Wahrscheinlichkeit daher kommt, dass man zwei Möglichkeiten hat, den überflüssigen Buchstaben zu streichen (eben einen von beiden). Aber ich weiß nicht wie ich das nachvollziehbar in meine Formel einbringen kann.

Die Abiturlösung geht einen ganz anderen Weg, den kann ich auf Nachfrage gerne liefern. Aber ich bin überzeugt, dass mein Weg auch zum Ziel führen muss.

Bitte findet den Denkfehler.
Vielen Dank.

[edit] Nach langen Überlegen ist mir eingefallen, dass man diese 2 doch einfach in den Nenner bringen darf. Dort steht die Anzahl aller möglichen Ereignisse. Es gibt 4^5 Buchstabenkombinationen und 2 Möglichkeiten der Streichung des überflüssigen Buchstaben.
Ist das dann so eine korrekte, nachvollziehbare Lösung?

13.04.2007, 15:46

sqrt4

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Es kommt ein Buchstabe doppelt vor, deshalb musst du auch am Ende noch durch 2 teilen.

Bsp:
$\begin{eqnarray*} EURO_1O_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} EURO_2O_1 \end{eqnarray*}$

13.04.2007, 15:47

Bjoern1982

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Hi

Du hast schon richtig erkannt, dass bei den einzelnen 5er Kombinationen irgendwas doppelt vorkommt.

Nehmen wir mal E U R O O

Es gibt 5! Möglichkeiten diese 5 Buchstaben anzuordnen....das liefert dann aber NICHT die VERSCHIEDENEN Möglichkeiten, da die beiden O's nicht unterscheidbar sind.

Um nun an alle VERSCHIEDENEN Möglichkeiten zu kommen bedarf es der Formel für die Permutationen MIT Wiederholung.

Siehe z.B. in der Tabelle ganz unten

http://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik

Hilft das weiter ?

Gruß Björn

13.04.2007, 17:03

Zellerli

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Ah stimmt. Ich erinnere mich, da gabs einen Haufen Formeln zum auswendig lernen, die ich leider nicht drauf habe Augenzwinkern

Vielen Dank für eure Hilfe, jetzt versteh ichs.

13.04.2007, 17:46

patros

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$\begin{eqnarray*} \frac{5!}{2!} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

-> Die Formeln stehen im TW

13.04.2007, 19:05

Bjoern1982

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Ja, das stimmt Freude

14.04.2007, 10:42

Zellerli

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Das gehört aber nicht hierher, sondern dorthin!

Oder hat das jetzt doch was hiermit zu tun? Es passt definitiv in die andere Aufgabe.

14.04.2007, 11:44

patros

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Zitat:

Original von Zellerli
Das gehört aber nicht hierher, sondern dorthin!

Oder hat das jetzt doch was hiermit zu tun? Es passt definitiv in die andere Aufgabe.

ne das hat sich schon auf die aufgabe hier bezogen Augenzwinkern

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