Herleitung der Normalverteilung

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integralschokolade Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Normalverteilung
Wie kommt eigentlich die Gauss'sche Normalverteilungsfunktion



zustande? Wie leitet man diese Funktion her?
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du Schüler?
Dann wirst du dich wohl damit abfinden müssen, dass dir die Funktion einfach so vorgesetzt wird, ohne Herleitung.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage "Wie leitet man diese Funktion her." ist schon sehr seltsam - woraus herleiten?

Sinnvoll wäre die Frage eher in der Form "Warum kommt bei der (normierten) Summe unabhängiger identisch verteilter Zufallsgrößen gerade die Normalverteilung heraus?", quasi der Zentrale Grenzwertsatz.

Das geht auf verschiedende Art und Weisen, einer der eleganteren setzt allerdings die Kenntnis charakteristischer Funktionen



voraus, de facto nur ein fachspezifischer Name für die Fouriertransformation der Verteilung.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

dennoch eine interessante frage.

mich interessiert wie die naturkonstanten
in die gaußsche normalverteilung gelangen?
was spielen sie hier für eine rolle?

wäre für jede hilfe dankbar.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Thread mag alt sein, aber wenn du schon dran anknüpfst und eine Antwort erwartest, solltest du schon dazu Stellung beziehen

Zitat:
Original von Arthur Dent
Sinnvoll wäre die Frage eher in der Form "Warum kommt bei der (normierten) Summe unabhängiger identisch verteilter Zufallsgrößen gerade die Normalverteilung heraus?


o.ä.

Ansonsten lautet die Antwort nämlich schlicht und einfach: Die Normalverteilung ist so wie sie ist definiert, basta. Augenzwinkern
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist nicht gerade eine typisch mathematische antwort, meinst du nicht auch?
ich dachte immer, dass solche formeln, funktionen etc. immer streng bewiesen werden müssen...?
man kann doch etwas nicht einfach so hinnehmen und sagen: es ist halt so ´, finde dich damit ab.
man muss das doch auch begründen können.
hinter der normalverteilungsfkt steckt doch ein sinn.
es hat doch gründe warum sie so ist wie sie ist, oder?

danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KingArthur
man kann doch etwas nicht einfach so hinnehmen und sagen: es ist halt so ´, finde dich damit ab.
man muss das doch auch begründen können.

Nein, muss man nicht: Definitionen sind Definitionen, da muss man höchstens begründen, dass sie in sich widerspruchsfrei sind.

Was man mit diesen Begriffen wie Normalverteilung dann anstellen kann, steht auf einem anderen Blatt, und dazu habe ich dir eine Brücke gebaut. Aber du willst nicht drübergehen, das kann ich dann auch nicht ändern.

Also denke wenigstens ein Weilchen drüber nach, was ich gesagt habe.


EDIT: Ein Beispiel:

Die Binomialverteilung ist ebenfalls wie sie ist definiert, ohne "Begründung".

Begründet werden muss erst, dass die Anzahl der Erfolge im Bernoulli-Experiment binomialverteilt ist.

Ähnlich verhält es sich bei der Normalverteilung. Wenn du also einen "Beweis" für die Normalverteilung haben willst - den gibt es nicht. Es gibt höchstens Beweise dafür, dass die Normalverteilung für die und jene Situationen die passende Verteilung ist, aber die solltest du dann auch konkret nennen.
Constructor Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Normalverteilung
Die Herleitung der Normalverteilung ist etwas umfangreich,
siehe z.B. hier: http://www.planetmathematics.com/DerNorm.pdf
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist es kein schlimmes durcheinander, nur Wissensdurst.

Ich habe etwas dagegen wenn jemand mir sagt, man soll etwas nehmen wie es präsentiert wird.
Die Herleitung der Formeln muss eine Geschichte haben, die wir leider nicht kennen.
Newton hat seine Behauptungen so formuliert als : " es scheint, dass..."
Vielleicht könnten wir uns eine Geschichte ausdenken....


Wenn man irgendeinen Prozess beowachtet, gibt es Eingänge und Ausgänge oder Ergebnisse.

Wir haben viele Binomien in der Schule studiert. Ich nenne diesen mit verschiedenen Namen, einfach weil dies sind eigentlich was die bedeuten.

In unserem Fall ist der Binomie Abstand: (x-a)
a ist unserem Ziel
x sind die Ergebnisse von unserem Prozess
Der Quadrat von der Binomie Abstand ist der Binomie Fehler (Error) (x-a)^2
Warum?
ein Beispiel ( wenn Ihr Excel habt , koennte Ihr dies gut überprüfen)

Ein Prozess hat das Ziel = 2, also a=2 von verschiedene Versuchen erhalten wir folgende Ergebnisse:
x =
2,1
2,2
1,9
1,8

x-a
0,1
0,2
-0,1
-0,2

Summe der Abstände = 0,1+0,2-0,1-0,2 = 0 (!)
Also die Summe der Abstände gibt uns keine Information wie gut unser Prozess läuft(oder wie schlecht von unserem Ziel abweicht)

Soll ich weiter erzählen?
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

An Evelyn, genau diese sind die Fragen die man stellen soll.
Pi? was ist Pi?
e(-x)?
Pi findet man in alle Rechnungen wo die Fläche eines Kreises von Relevanz ist.
E(-x) sind die Vorstellungen von Laplace Welt wo alle Energien in der Welt laut eine Relaxation Folge zu existieren sind.

Also mit diesen Voraussetzungen sollte man das Formel erklären können, oder?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Evelyn89
das ist nicht gerade eine typisch mathematische antwort, meinst du nicht auch?
ich dachte immer, dass solche formeln, funktionen etc. immer streng bewiesen werden müssen...?
man kann doch etwas nicht einfach so hinnehmen und sagen: es ist halt so ´, finde dich damit ab.


Auf die Frage, wieso eine Funktion der Form im genannten Zusammenhang wichtig wird, will ich hier wegen Weitläufigkeit auch nicht eintreten. Aber auf die Nachfrage betreffend pi und e kann man Folgendes sagen: Jede Exponentialfunktion (mit positiver Basis) kann immer in jede andere Exponentialfunktion (mit beliebiger positiver Basis) transformiert werden, wenn man nur einen konstanten Faktor (hier c) im Exponenten akzeptiert. Man hat sich deshalb mehr oder weniger auf eine einzige geeinigt, nämlich e. Das hat mit Stochastik und Normalverteilung überhaupt nichts zu tun.
Was pi betrifft: Das Integral einer Verteilungsdichte muss 1 sein. Merkwürdigerweise schleicht sich beim bestimmten Integral (weil Substitutionen Trigonometrie einbeziehen) die Konstante pi ein, sodass der «normierende» Faktor (hier b) die Zahl pi enthält.

Edit: Das Wichtigste habe ich vergesse: pi und e sind KEINE NATURKONSTANTEN !
(Man sagt zwar, e sei die natürliche Basis der Logarithmen, aber dewegen ist e noch lange keine Naturkonstante.)
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Interesante Diskusion, wisili! Du hast genau eine akademische Antwort gegeben. Aber Jetzt zu deine Frage evelyn, Warum Pi() und e ?
Als Dividend taucht wurzel(2 Pi()) * sigma^2)
Das ist eindeutig eine Fläche 2mal so gross wie ein Kreis mit radius Sigma. Es scheint als mann alle Punkte zählen muss (Integral) die in einen Kreis mit raidius 2 *Sigma auftauchen. (!) allerdings ist ein Wurtzel von einer Fläche(!) Man sagt den das die wahscheinlichkeit alle Punkte gezählt zu haben ist 1(p.u)
Bezüglich e... Die Relaxation ist ein natürliches Phänomen. exp(-x) existiert in Thermischen Berechnungen auch wenn mann eine Seite aus seinem equilibrium bringt, schwingt und wird von der Luftwiderstand gedämpft. (Die Welt von Laplace)
Wenn in der Formel von der Gauss Glocke e(-x) gäbe würde anders aussehen (spitzig, nicht wahr?) und hätte damit keine reelle Bedeutung. Deswegen diese Binomie (x-a)^2
Der Binomie Fehler muss hin weil eigentlich geht es um Fehler, Abweichungen vom den Mittelwert. Die Relaxation von dem Fheler kan man sich vorstellen weil wenn mann sich angstrengen würde, würden mehrere Punkte innerhalb 1Sigma treffen. Kommiischerweise die Glocke stelllt tatsächlich eine Kurve die im Natur zu sehen ist.
ALso im Worten: die Gleichung von der Gauss Glocke ist nur die Relaxation der Fehler dividiert beim einen Wert die eine Fläche vom 2sigma repräsentiert.
Ah! (x-a)^2/Sigma^2 warum?. Ja sigma ist ja hier ein Parameter die eine Skalierung der Translation x-a beeinflusst (Form-Faktor) welche abhängig vom dem Prozess ist.
Bis demnächst.
Charlie
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

wisili,
Ich war sehr gut in der Schule. Ich hatte die besten Zenzuren. Eines Tages unserem Professor fragte uns wie kann ich die Nr Pi rechnen mit einem Seil, ein glas und ein Lineal.
Ich habe es nicht geschafft. Jemand anderem schaffte es.
Pi ist eine Konstante universell, hier in dem Mond, überall.
E auch.
GRuss
Charlie
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur,
in diesem runden Tafeln tauchen so interesante Fragen:
quote
"Warum kommt bei der (normierten) Summe unabhängiger identisch verteilter Zufallsgrößen gerade die Normalverteilung heraus?
unquote


Unabhängiger identisch verteilter Zufallsgrößen, summiert, ergeben keine Gauss Glocke

Wenn wir Prozesse betrachten die unterschiedlichen Mus and sigmas, haben, und alle summieren weil die effekte (Confound) vermischt sind ergeben keine Gauss Glocke.

Gruss
Charlie...vielleicht sollten wir einen Beispiel ausdenken?
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »
e
wisili,
hier ein Beispiel in excel

basis = 10
deltax = 0,05
Bitt erstellt 3 Spalten
erste Spalte ist x mit deltax 0,05. Wir fangen mit x=-2 an.
-2
=Z(-1)S+deltax und kopierst Du dies nach unten sag, 10mal


zweite Spalte = Potenz(basis;x) x ist die spalte links, ok?
Dritte Spalte dy/dx =

x = POTENZ(basis;x) dy/dx

und dann mach dasselbe mit basis 2,71

Uff!, nicht wahr?
Mit dem Beispiel siehst Du warum e so wichtig ist.
was siehst Du?
Gruss
Charlie
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e
@Charlie Capps
Ich möchte nicht mehr angesprochen werden. Derart verwahrloste Sprache lese ich nicht.
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Freunde,
gestern habe ich versuch e(-x^2) numerisch zu integrieren und komme auf einen Wert der mich verblüft hat.

Integral(exp-x^2)= 1,77

Kommischerweise wurzel(Pi()) ist auch 1,77...

Gibt es eine Verbindung zwischen Pi und e?
OK ja, Demoivre, Euler, hum...
Wer kennt sich aus?
Gruss
Charlie

PS: wisili, tut mir Leid, dass Du nicht kommunizieren willst. Ich dachte es geht um Mathe(?)
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also auf deinen letzten Beitrag finde ich schon eine Antwort.
Dazu solltest du aber "richtig" integrieren und nicht numerisch.

Dabei wird eine Substitution mit einer trigonometrischen Funktion nötig sein und diese hängen ja bekanntermaßen mit Pi zusammen. Als Ergebnis erhält man dann:
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Hi..endlich bist du da!
Ich bin in diesem Forum NUR wegen deiner Frage...warum Pi und warum e.
Deine Neugier war korrekt (ist!). Ich habe, jedoch herum geschaut in dem Forum und fand viele Sachen die zu "Latex" sind.
Zum Beispiel...kannst Du mir zeigen wie man wurzel(Pi) aus einen analitischen Integration raus findet?
Eine nummerische Integration ist meiner Meinung nach gerechfertigt.

Eigentlich alle die Funktionen die wir lernen sind eigentlich eine Darstellung physikalische Tatsachen. Deswegen, wenn in einen Formel Pi auftaucht, denke ich sofort in einem Kreis, weil nur dann hat diese Zahl eine Bedeutung.
Jemand hat mir gezeigt, dass Mathe ist einfacher als was man denkt und dass auch echt Spass machen kann. Kannst Du dich vorstellen, alles was wir jetzt diskutieren haben Leute, leider nicht wie Du und ich mit Kerzenlicht(!) verarbeitet?.

Wir lehren Mathematik wie vor 500 Jahren. (Inge Schwank)
Mathematik ist noch mehr aufregend weil .....
Die Gauss Glocke ist SO WICHTIG, dass sogar unsere Weltma....

Was denkst du, welche Fläche sollte diese Pi darstellen?
Kannst Du Musik-Partituren lesen?...Beim lesen, siehst du ob der Autor eine falsche Teilung gewählt hat oder stellst du dich die Melodie vor?.

Leider Gottes die Gauss Glocke wurde uns gezeigt mit dem Galton-Brett.

Ich muss gehen..
Gruss
Charlie
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Evelyn,
Warum Pi? warum e?
Warum 1/2?
Ich bin überzeugt, dass die Gauss Glocke aus 2 stochastisch Variablen X und Y basiert ist.
Nach einer Verwandlung, nötig weil man für beliebige Prozesse (mono , multivariate) verwenden will, ist es monovariabel geblieben.

Die Transformation ist nicht trigonometrisch oder hast Du sie gefunden?

Die Antwort habe ich gefunden. Ich meine, warum Pi und warum 1/2.

Warum e (ausser meine überhebliche Erklärung: Relaxation) habe ich noch nicht.

Dies ist eine Matheforum also, hast Du was gefunden?

gruss
Charlie
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin soweit wie L.... beim integrieren einer Ellipse!
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

na... evelyn...
Anders als mit dem Galtonbrett
Ein gewehr schiesst auf ein Ziel. Das Ergebniss zeigt Abweichungen in 2 variablen (richtungen) x und y, die Wahrscheinlichkeiten mussen multipliziert werden.

e-1/2((x-mux)/s)^2 . e-1/2((y-muy)/2)^2 / 2Pi s^2

wenn speziel Fall u= x-mux = y-muy (Kreis!)

e-1/2((u)/s)^2 . e-1/2((u)/2)^2 / 2Pi s2


... bitte kanns du weiter machen? ich muss rennen!

multiplizieren und integrieren? muss = 1 sein wenn s=1

in einen anderen Fall (Ellipse) habe ich jetzt versuch eine Ellipse zu integrieren..

Kommischerweise ich mache genau was Leibnitz (mein idol!) getan hat....

und nannte diese..... elliptische integralen..
kommisch nicht?
gruss
Charlie
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Evelyn..
Du schuldest mir eine analitische integration von e-x^2
Gruss
Charlie
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Charlie Capps

Bitte unterlassen Sie in Zukunft Ihre Spam-PNs fragwürdigen Inhalts.

Ihre Selbstgespräche hier im Thread oder anderswo im Board können Sie natürlich gern fortsetzen.

P.S.: Ich hätte diese Nachricht natürlich als PN verschickt, aber da Sie diese nicht aktiviert oder für mich gesperrt haben (wofür ich vollstes Verständnis habe, da ich dies jetzt ebenso mache), bleibt mir nur dieser Weg.

P.S.2: Sofern es übrigens "nur" um die Herleitung der Integrationskonstanten gehen sollte - was keiner hier im Thread mal deutlich auf den Punkt gebracht hat - siehe hier. Wink
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
... Was pi betrifft: Das Integral einer Verteilungsdichte muss 1 sein. Merkwürdigerweise schleicht sich beim bestimmten Integral (weil eine Substitution Trigonometrie einbezieht) die Konstante pi ein, sodass der «normierende» Faktor (hier b) die Zahl pi enthält.


Die Fragestellerin liefert nicht mit, wie ausführlich sie sich das gewünscht hat.

Zitat:
Original von Arthur Dent
... Sofern es übrigens "nur" um die Herleitung der Integrationskonstanten gehen sollte - was keiner hier im Thread mal deutlich auf den Punkt gebracht...


Da es sich um ein bestimmtes Integral handelt, geht es auch nicht um eine Integrationskonstante.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sorry, hab mich falsch ausgedrückt: Normierungskonstante

Kann mir nicht vorstellen, dass dir nicht klar war, dass ich das gemeint habe (vor allem angesichts des verlinkten Beitrages) - oder wolltest du mich bewusst falsch verstehen?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es mir klar war, habe ich den falsch gewählten Begriff zugunsten der Leser dieses Threads korrigiert.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Leser? Gibt es die noch hier im Thread? Augenzwinkern

Und unter Korrektur würde ich eher sowas verstehen wie "Du meinst Normierungskonstante?" statt des von dir gewählten Weges.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du Recht: Ich hoffe auch auf Erlösung.
(Uebrigens meine «Spitze» vorhin geht auf «- was keiner hier im Thread mal deutlich auf den Punkt gebracht hat -» zurück. Das fand ich an meinem Beitrag gemessen nicht adäquat.)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das war's also. Ja eigentlich habe ich von den diversen Fragestellern hier im Thread geredet, wozu du meines Wissens nach nicht gehörst. Na dann entschuldige, wenn ich dir versehentlich auf den Schlips getreten bin.
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche Leser? Gibt es die noch hier im Thread?


Doch, es gibt schon noch denkende Leser in diesem Thread ... auch wenn sich vielleicht nicht jeder an einer derartig abgedrehten Diskussion selbst beteiligen möchte. Aber amüsant ist das schon ... der merkwürdige Pausenclown auf der Suche nach Naturkonstanten ... oder hat er doch eher Anschluss gesucht ...? Und dann die gestelzte Diskussion, ob es sich jetzt um eine Integrations- oder Normierungskonstante handelt ... vor allem der leicht beleidigte Unterton war einfach Klasse ...

Nee, ... also es gibt schon noch Leser, die das hier genüsslich verfolgen ... Weiter so! Auch wenn ich mich hier gleich wieder ausklinke ... Big Laugh

Grüße
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Charlie Capps
Evelyn..
Du schuldest mir eine analitische integration von e-x^2
Gruss
Charlie


Also, weil du es unbedingt wissen willst:

Ich gehe dazu wie folgt vor:

1.) Zeige:
und dann
2.)



zu 1.)




Nun erfolgt eine Substitution wie folgt:

Setze



Dann folgt:





Also



zu 2.)

Es gilt nach Def. der Gamma-Fkt.:



Setze


Dann folgt:




Daraus folgt die Behauptung.
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur

Ich kpnnte auch von irdgenwo eine Lösung zu dem Integral finden und hierher bringen.

Die Frage war WARUM e, Pi, etc.und nicht fertige Lösungen zu präsentieren.

Wie ich verstehe der Sinn vom diesem Forum ist Anregungen zu bringen die uns alle zum denken bringt.

Da hilft aber nicht diese Diskussionen. Vielleicht für andere Leute die offensichtlich sich miteinander kennen und suchen Diskussionspulver oder Selbstverwirklichung.

Evelyn hat mich heute gefragt warum ein Gewehr? oder Darts?
Weil die beste Darstellungart der Gauss Glocke ist. Wie gesagt wir alle haben nur das Galtonbrett als "Einführung" in diese fantastische Welt der MESSUNG.

Es tut mir ausserordentlich Leid dass dies nicht verstanden wurde.

Soweit ich weiss, ist dieses Forum Public. So damit hoffe ich, dass die Leute die WIRKLICH um Mathematik sich interessieren, WIRKLICH die unpassende und uninteressante Diskussion beiseite legen und sich auf die Aufgabe konzentrieren.
Arthur hat uns eine interessante Darstellung der Integral e^-x^2 gezeigt.

Diese werde ich überprüfen weil mir "interessant" scheint was hat Jacobi mit einer einfache Rotation zu tun. Arthur, woher hast tu es? ich erwarte Ehrlichkeit, bitte.
Du hast mich schon geholfen mehrmals, also ich würde mich freuen dass du bei der Sache bleibst.
Wo ist Evelyn?
Warum Pi wissen wir schon, oder? aber...
warum e?
Grüsse an alle
Charlie
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Evelyn

Danke für diesen konstruktiven Beitrag hier im Thread. Eine wirkliche Wohltat nach (und vermutlich auch vor) all diesem belanglosen Gelaber hier im Thread.

Ach ja, noch an alle: Don't feed the Troll.
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Oh! hallo! Evelyn.

Ok, Danke für deinen Beitrag. Es passt aber leider nicht mit der Evelyn die gefragt hat warum e und warum Pi. Die Integrale haben als divisor 1-x^2, t-1 undsoweiter.
Ganz einfach deine Erklärung anzunehmen ist nicht, weil es scheint das bei x oder t=1 the value goes to the clouds!
Bist du sicher das die integrale konvergieren?
Has du eine bessere erklärung die ich verstehen kann?
Gruss
Charlie
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, leider meine Antworten waren im Ofen. Ich konnte nicht sehen dass bereits Antworten im Forum waren.
Arthur....selbstlob stinks weiss du nicht?
Gruss
Charlie
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nur als kleine Anmerkung zu Evelyn's Beitrag, ohne mich hier sonst weiter "einmischen" zu wollen, der "übliche" Weg zur Herleitung des fraglichen Integrals geht doch wohl so:

Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

@mystic
Ich mag diese Erklärung.
Ohne viel Lärm, ist simple und richtig.
Danke
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Mystic....
also die Transformation ist nicht trigonometrisch sonder Pythagorisch!
Klasse!
Danke nochmals!
Charlie Capps Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich nochmals...
Mystic, du hast eine Fläche integrierst. Dies bestätigt uns, dass die Gauss Glocke nicht einfach mit dem Galtonbrett zu veranschaulichen ist.
Danke nochmals
Charlie
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