Übungsaufgaben fürs Abi

13.04.2007, 16:50

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

Übungsaufgaben fürs Abi

Hi da bin ich wieder.
Mein Mathe lehrer hat unserem Kurs zur Vorbereitung aufs ABI ein Aufgabenblatt gegeben.
Ich wollte diesen jetzt durcharbeiten und euch meine Lösungen vorstellen bzw. fragen wenn ich etwas nicht verstehe.
Da unser lehrer es versäumt hat uns die lösungen mitzugeben weis ich auch nicht ob ich richtig oder falsch gerechnet habe. Ich verlasse mich auf euch.

Also über den aufgaben steht folgendes:

In einem Unterrichtsraum hängt neben der Tafel eine rechteckige Projektionswand. Wird in einer Ecke des Raumes der Ursprung eines koordinatensystems festgelegt, kann man drei Ecken der Projektionsfläche die koordinaten A(0,5/1/1,5), B(0/2,8/1,5) und C(0,5/2.8/3) zuordnen.

Jetzt die erste Aufgabe:
a)
Ermitteln Sie die Koordinate der 4. Ecke sowie den flächeninhalt der Projektionswand.

Meine Lösung:
Zuerst rechne ich die gerade BC aus. Das wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\2,8 \\ 1,5 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0,5 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun hab ich ja den richtungsvektor und da die wand ja rechteckig sein soll muss der Vektor bei der geraden AD auch gleich sein.
Also hab ich A + den richtungsvektor gerechnet und für den Punkt D (1/1/3) raus bekommen.

Für den Fläacdheninhalt habe ich folgendes gemacht:
die Formel lautet ja $\begin{eqnarray*} a*b \end{eqnarray*}$ für ein rechteck
also hab ich für a= $\begin{eqnarray*} \mid AB \mid \end{eqnarray*}$
und für b = $\begin{eqnarray*} \mid BC \mid \end{eqnarray*}$ genommen
Also $\begin{eqnarray*} \sqrt{3,49}* \sqrt{2,5} \end{eqnarray*}$
Dafür hab ich dan als Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} 2,9538... \end{eqnarray*}$ raus.
Das wars dann auch mit der aufgabe a).
Ist das alles richtig soweit?

13.04.2007, 17:00

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

nun Aufgabe b)
Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene auf, in der sich die Projektionsfläche befindet und zeigen Sie, dass diese Ebene auch durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} E: 18x+5y-6z=5 \end{eqnarray*}$ beschrieben werden kann.
Da hab ich mir gedacht das ich ja aus den 3 Punkten eine Ebene Aufspannen kann.
Also 0A+r*AB+s*AC.
Das ergibt dann folgendes:
$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \\ 1,5 \end{pmatrix}+r* \begin{pmatrix} -0,5 \\1,8 \\ 0 \end{pmatrix}+s* \begin{pmatrix} 0 \\ 1,8 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Als koordinatenform mit dem Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 18 \\ 10 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hab ich dann
$\begin{eqnarray*} E: 18x+10y-12z=-1 \end{eqnarray*}$

Nur wie beweise ich jetzt das die Ebene auch als $\begin{eqnarray*} E: 18x+5y-6z=5 \end{eqnarray*}$ beschrieben werden kann.
Ich dachte vllt nachweisen dass diese identisch sind aber wie mache ich das.
MfG

13.04.2007, 17:09

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

E = E*: gar nicht, die sind nicht identisch.
den rest muß ich erst begucken
werner

13.04.2007, 17:30

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Übungsaufgaben fürs Abi

Zitat:

Original von Matti
.....er Ursprung eines koordinatensystems festgelegt, kann man drei Ecken der Projektionsfläche die koordinaten
A(0,5/1/1,5),
B(0/2,8/1,5)
C(0,5/2.8/3) zuordnen.

Ist das alles richtig soweit?

überprüfe die x-koordinate von B, die sollte auch $\begin{eqnarray*} x = 0.5 \end{eqnarray*}$ heißen verwirrt

verwirrt

sonst wird da nie ein rechteck draus, vermute ich
werner

13.04.2007, 17:34

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber da steht nunmal für b (0/2,8/1,5) bi mir wurde auch echer ne raute draus (parallelogramm)

13.04.2007, 17:55

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

aber vom prinzip her ist es alles richtig gerchnet oder?
also die rechenwege meine ich.
ausser das mit den zwei ebenen da weis ich nicht wie ich vorgehen soll

Anzeige

13.04.2007, 17:56

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matti
ja aber da steht nunmal für b (0/2,8/1,5) bi mir wurde auch echer ne raute draus (parallelogramm)

als meister dieser tugend:
schon mal von vertippen, veschreiben, druckfehlern gehört verwirrt

verwirrt

ich würde das ganze noch einmal mit $\begin{eqnarray*} x = 0.5 \end{eqnarray*}$ angehen,
vermutlich löst sich dann auch das problem $\begin{eqnarray*} E\neq E^\star \end{eqnarray*}$

werner

13.04.2007, 17:59

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe diese ebene schon mit dieser variante errechnet.
der normalenvektor wäre dann 0 was doch heist das es
0x+0y+0z=0 ergeben würde.
was kann ich daraus schliessen?

13.04.2007, 18:37

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

der normalenvektor ist dann nicht null, sondern $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

übrigens die parameterform deiner ebene stimmt, da hast du dich wahrscheinlich nur beim kreuzprodukt vertan, bei mir kommt E raus.
in E liegen auch die 3 gegebenen punkte.
allerdings ist eine berechnung des 4. punktes sinnlos bzw. unmöglich, wenn man nicht weiß, um welches viereck es sich handelt.

auch deiner flächenberechnung haftet dieser mangel an. da es sich nicht um ein rechteck handelt, stimmt auch die formel nicht.
ich würde sowieso die fläche über das vektorprodukt $\begin{eqnarray*} A=\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ berechnen.

tut mir leid, eine bessere nachricht habe ich nicht.
werner

13.04.2007, 18:49

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll man denn dann den 4 punkt ausrechnen.
welchen weg hättest du denn genommen??

13.04.2007, 19:01

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, eben das geht nicht.
wenn du allerdings annimmst, dass es sich um ein parallelogramm handelt, dann geht es genauso, wie du es gemacht hast, also

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$

aber wie gesagt, ein rechteck ohne rechte winkel verwirrt

verwirrt

werner

13.04.2007, 20:06

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

noch etwas. du hast ja gesagt das meine ebenengleichung in parameterform richtig ist und du mit dieser gleichung auch die ebenengleichung in koordinatenform aus der aufgabe rausgekriegt hast. das müsste doch heißen das die koordinate B richtig sein muss

2. Du schreibst für Fläche a : BA+BC
Ich schreibe AB*BC

Ist das nicht das gleiche? verwirrt

verwirrt

13.04.2007, 21:12

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest hab ich so den eindruck das es dasselbe ist.

13.04.2007, 21:40

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

1)ja die koordinaten sind in dem sinn richtig, zumindest liegen die 3
punkte in dieser ebene. aber deshalb bilden sie auch kein rechteck.

2) ich habe NICHT geschrieben A + B sonder A x B,
das ist das vektorprodukt und was ganz anderes als A*B.
werner

13.04.2007, 21:56

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich AB * BC rechne

und du BA x BC rechnest ist es also nicht das gleiche.
Wie wird denn deine varriante gerechnet?

Warum ist meine variante falsch.

wenn ich die entfernung von A-B und die entfernung von B-C ausrechne habe ich doch die zwei seitenlängen die man braucht um den inhalt auszurechnen.

13.04.2007, 22:52

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

bITTE ZUERST MEINE OBERE FRAGE BEANTWORTEN DANACH DAS HIER BITTE^^

Ein während des vortrages genutzter laserpointer sendet einen lichtstrahl aus der längs der geraden
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}+r* \begin{pmatrix} 105 \\ 42 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
verläuft.
BERECHNEN sIE DEN sCHNITTPUNKT MIT DER EBENE E UND UNtersuchen sie ob der lichtstrahl des Laserpointers die projektionswand trifft.

Also die ebenengleichung haben wir ja errechnet und ist ja ch schon in der vorherigen aufgabe gegeben. Also kann man sich aussuchen ob man die geradengleichung lieber mit der lordinatenform oder der parameterform gleichsetzt.
Mit dem errechnen des Durchstospunktes habe ich keine probleme.

Aber wie untersuche ich ob der strahl die projektionswand trifft.
hat der nicht die gleiche gleichung wie die ebene.die punkte kommen doch von den ecken der projektionswand.

13.04.2007, 23:55

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matti
wenn ich AB * BC rechne

und du BA x BC rechnest ist es also nicht das gleiche.
Wie wird denn deine varriante gerechnet?

Warum ist meine variante falsch.

wenn ich die entfernung von A-B und die entfernung von B-C ausrechne habe ich doch die zwei seitenlängen die man braucht um den inhalt auszurechnen.

weil du damit die fläche eines rechtecks berechnest mit A = a*b,
und das ist eben nur richtig, wenn du auch ein rechteck hast.
wie wir aber beide wissen, bilden AB und BC KEINEN rechten winkel.

mit dem vektorprodukt
$\begin{eqnarray*} \mid\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\mid \end{eqnarray*}$ berechne ich die fläche des von den beiden vektoren eingeschlossenen/gebildeten parallelogramms.

kennst du denn das vektorprodukt nicht?

werner

14.04.2007, 00:02

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

und aus dem ergebnis muss ich dann die wurzel von a^2+b^2+c^2 ziehen. dann ist es ja super da es wahrscheinlich für alle ebenen gilt egal was für eine form Sie bilden (quadrat, raute,) Also rechne ich ab jetzt immer so danke.

Kannst du mir jetzt bitte bei der nächsten gestellten aufgabe helfen??
Danke

14.04.2007, 00:39

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

zunächst noch zum vektorprodukt Freude

Freude

(und die fläche eines dreiecks ist die hälfte)

$\begin{eqnarray*} A=\mid\begin{pmatrix} 0.5\\ -1.4 \\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \mid=\mid\begin{pmatrix} -2.10 \\ -0.75 \\ .70 \end{pmatrix} \mid=2.34 \end{eqnarray*}$

jetzt zum rest:
den punkt hast du ja bestimmt, ich habe
$\begin{eqnarray*} P(\frac{1}{4}/\frac{3}{2}/\frac{7}{6}) \end{eqnarray*}$

um nun zu sehen, ob er auf der projektionsfläche liegt, benutzt du die parameterform mit aufpunkt B und den spannvektoren BA und BC,
die spannen ja die projektionswand auf!

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 2.8 \\ 1.5 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 0.5 \\ -1.8 \\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0.5 \\ 0 \\ 1.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt setzt du den punkt P ein und berechnest die zugehörigen r und s.

P liegt genau dann im parallelogramm, wenn gilt

$\begin{eqnarray*} 0\leq r,s\leq 1 \end{eqnarray*}$

zeichne es dir mal auf, dann ist sofort klar wieso.
(schau wo du bist, wenn r=1 und s= 0 usw.)

ok verwirrt

verwirrt

werner

14.04.2007, 00:48

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist klar soweit nur wo muss ich P insetzen und warum muss ich die ebene auf punkt b aufspannen. oder kann man das auch auf den anderen punkten machen. z.n. 0A+r*AB+s*AC???

14.04.2007, 10:50

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

1) du setzt
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OP} \end{eqnarray*}$
wie sonst solltest du r und s bestimmen können verwirrt

verwirrt

also du prüfst, ob P in E liegt, was wir ja wissen,
aber wir wissen eben nicht, ob INNERHALB des parallelogramms.

natürlich kannst du auch jeden anderen punkt des parallelogramms nehmen, aber die RICHTIGEN spannvektoren! das wären dann
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AD} \end{eqnarray*}$

was dir klar sein sollte, nachdem ich geschrieben habe, sie spannen das parallelogramm der projektionswand auf, was ja deine NICHT tun Big Laugh

Big Laugh

werner

14.04.2007, 11:00

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ja recht hast du.
war mein fehler sonst wäre es ja eine andere ebene

14.04.2007, 11:12

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe für den durchstoßpunkt mit der ebene E: 18x+5y-6z=5
was anderes raus. Bei mir ist es für r=1/12
Eingesetzt in die geradengleichung ergibt es dann (17,75/8,5/2.8333..)

14.04.2007, 11:39

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matti
ja recht hast du.
war mein fehler sonst wäre es ja eine andere ebene

das NICHT, aber ein anderes parallelogramm.

zum 2. post:

$\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$
ob da das vorzeichen stimmt verwirrt

verwirrt

wenn es dich tröstet, diesen mist hatte ich auch,
aber ich habe eine probe gemacht, ich kenne mich ja Big Laugh

Big Laugh

mache doch einen test, und setze "dein" P in die ebenengleichung ein.

werner

14.04.2007, 11:58

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ouuuuu maaaan Hammer

Hammer

da muss ich besser aufpassen.
na klar.habe das ergebnis jetzt mit der ebenengleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AD} \end{eqnarray*}$
gleichgesetzt.
als ergebnis habe ich für r= 5/18 und für s=-2/9
Mir ist schon klar das $\begin{eqnarray*} 0\leq r,s\leq 1 \end{eqnarray*}$ sein muss da diese punkte alle auf dem parallelogramm liegen.
Nur passt das ergebniss dann nicht in diese Spanne wenn ich es richtig gerechnet habe.
also geht der strahl vorbei

Noch was. wie komme ich darauf das $\begin{eqnarray*} 0\leq r,s\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist
oder gilt das immer.

14.04.2007, 12:17

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja der strahl verfehlt sein ziel,
vermutlich ist auch der laser beleidigt, dass er kein rechteckiges ziel hat Big Laugh

Big Laugh

ja, das ist bedingung, wenn du prüfen willst, ob ein punkt in dem parallelogramm liegt, das von 2 vektoren aufgespannt wird.

mußt du auf das dreieck ABC prüfen, so kommt als weitere bedingung dazu

$\begin{eqnarray*} r+s\leq 1 \end{eqnarray*}$
also

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq r,s\leq 1\quad{ }\wedge\quad{ } r+s\leq 1 \end{eqnarray*}$

skizze machen!
werner

14.04.2007, 12:34

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ok also kann ich diese bedingungen immer benutzen?
auch wenn ein rechteck aufgespannt wird oder ein dreieck?

14.04.2007, 13:45

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

siehe oben,
nach dem motto:
einmal richtig, immer wichtig unglücklich

unglücklich

werner

14.04.2007, 14:05

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

Nächste Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

Ein projektior hat die koordianten (4/2/1,5)
Berechnen Sie den Abstand von der Projektionswand.
Das find ich einfach. Hoffentlich ist der weg auch richtig^^

Also der abstand tzur wand ist auch gleich der abstand zur ebene.
Also rechne ich einfach den abstand des punktes zur ebene aus.
sprich:
$\begin{eqnarray*} \frac{18x+5y-6z-5}{\sqrt{385}} \end{eqnarray*}$
Nur noch die Punkte in die h. normalenform einsetzen und fertig.
Der Abstand beträgt $\begin{eqnarray*} ca. 3,4656... \end{eqnarray*}$

14.04.2007, 14:14

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

werner

14.04.2007, 14:23

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

super nun die letzte aufgabe zu dem bereich mit der projektionsfläche.
Also:

Die neigng der projektionswand ist veränderbar.
Die stellung kann mit der Schar: $\begin{eqnarray*} E_t: 18x+5y-tz=14-1,5t \end{eqnarray*}$
beschrieben werden. mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R und 0\leq t\leq 12 \end{eqnarray*}$

Ermitteln Sie den minimalen und den maximalen Neigungswinkel gegenüber der yz- ebene
Hier bin ich etwas ratlos.
Ich dachte dass ich einfach die schnittwinkel der ebenenschar mit der yz ebene ausrechne. nur weis ich nicht wie ich dann auf den max und minimalen wert kommen soll.

14.04.2007, 14:48

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

der ansatz ist richtig
und
wie berechnet man denn nun die extrema einer funktion f(t), unter beachtung des wertebereiches/randes?
werner

14.04.2007, 14:58

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich denn die ableitung bilden oder wie?
ich mene das fällt dann doch in die analysis

Für die schnittwinkel habe ich dann übrigends:
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha ) = \frac{\mid \begin{pmatrix} 18 \\ 5 \\ -t \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \mid}{\sqrt{349+t^2}} \end{eqnarray*}$
raus
Also:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha ) = \frac{18} {\sqrt{349+t^2}} \end{eqnarray*}$

14.04.2007, 15:41

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar, und f(t) hat ein extremum, wenn das quadrat des nenners ein extremum hat, damit kann man sich das leben leichter machen
werner

14.04.2007, 15:44

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ist meien obrige herleitung denn soweit richtig?

14.04.2007, 16:14

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

vertrau dir selbst, dann paßt es
werner

14.04.2007, 16:30

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

ok das hört sich ja super an.^^ macht mir mut.

habe dann : $\begin{eqnarray*} f= 18*\frac{1}{\sqrt{349+t^2}} = 18*(349+t^2)^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

komme letztendlich dann auf
$\begin{eqnarray*} f'= -18t*(349+t^2)^{-\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$
bekomme für t dann 0 raus. und will es dann in die gleichung der winkelhalbierenden einsetzen.
bekomme dann cos(t)= +- 0,9635

Die neigung der tafel beträgt dann mindestens 15,52411 grad und maximal 164,475 grad

Bin mir nicht sicher ob ich richtig abgeleitet habe. oder ob das alles hier ein schuss in den ofen war^^

14.04.2007, 16:51

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast richtig abgeleitet.
wie oben gesagt, da der nener noch dazu konstant ist, kann man auch das quadrat des nenners untersuchen:

$\begin{eqnarray*} f(t) =349+t²\to f^\prime(t)=2t=0\to t=0 \end{eqnarray*}$

das ergibt $\begin{eqnarray*} \alpha=15.52° \end{eqnarray*}$ jetzt mußt du noch den RAND untersuchen - mußt meinen käse ein bißerl genauer lesen,
ab und zu steht was sinnvolles drin Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} t= 0 \end{eqnarray*}$ haben wir schon, bleibt $\begin{eqnarray*} t= 12 \end{eqnarray*}$ , und das ergibt dann
$\begin{eqnarray*} \alpha=35.84° \end{eqnarray*}$ als maximalen schwenkwinkel.

werner

14.04.2007, 21:51

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind die 15,52 grad richtig aber die 164,475 falsch.
kann nicht ganz nachvollziehen wie du auf 12 für t als zweite lösung kommst.

15.04.2007, 10:27

Matti

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir da nen tip geben wie man auf t=12 kommt?

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »