Umkehrfunktion bauen

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13.04.2007, 15:41	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion bauen Hallo, ich soll im zur Zeit eine Umkehrfunktion bauen, weiß aber leider gar nicht wie man dieses angehen kann. Am besten gebe ich dazu einmal die Funktion an: $\begin{eqnarray} f(x) = 7x + 6exp(7x) + 8 \end{eqnarray}$ Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie die Funktion $\begin{eqnarray} g(y)=... \end{eqnarray}$ baue, so dass gilt: $\begin{eqnarray} x=g(y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray*}$ . Im Augenblick weiß ich leider gar nicht wie dieses angegangen werden könnte. Bin über jeden Tipp dankbar. Viele Grüße --MrMilk
13.04.2007, 15:46	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=7x+6\exp\left(7x\right)+8 \end{eqnarray}$ ist analytisch geschlossen nur mit der LambertW-Funktion $\begin{eqnarray} \operatorname{LambertW}\left(x\right)=y \; \stackrel{x \geqslant -\frac{1}{e}}{\Longleftrightarrow} \; y=x\exp(x) \end{eqnarray}$ umkehrbar. Sagt dir das was ?
13.04.2007, 15:51	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider nicht :-( Gibt es dazu eine bestimmte Vorgehensweise? Kannst du mir vielleicht mehr dazu sagen? Viele Grüße --MrMilk
13.04.2007, 16:00	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja die Vorgehensweise ist immer die selbe. Man formt eine Gleichung mit $\begin{eqnarray} y=...x... \end{eqnarray}$ um zu $\begin{eqnarray} ...y...=x \end{eqnarray}$ , löst also nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf. Dabei muss man eben mehbr oder weniger schwere Rechentricks anwenen (hier isses bisschen fies) und vorallem dann irgendwann mal $\begin{eqnarray} f^{-1}\left(f(x)\right)=x \end{eqnarray}$ ausnutzen. Mich wundert das ihr diese Funktion nicht kennt, wenn ihr diese Aufgabe lösen wollt. Allerdings hat mich die Formulierung "zur Zeit eine Umkehrfunktion bauen" stutzig gemacht. Sollt ihr evtl. "nur" eine Potenzreihe entwickeln ? Das würde ja implizit gehen...
13.04.2007, 16:13	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es wurde in der Aufgabenstellung darum gebeten, die Umkehrfunktion zu konstruieren und für bestimmte werde die Ableitung auszurechnen. Das Wort "Potenzreihe" konnte ich so nicht direkt findne. Kannst du mir sagen, wie du dieses hier meinst? $\begin{eqnarray} f^{-1}\left(f(x)\right)=x \end{eqnarray}$ Viele Grüße -- MrMilk
13.04.2007, 16:42	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet, dass die Umkehrfunktion angewendet auf den Funktionswert eines Argumentes eben dieses Argument wieder liefert. Ich hab bei Wikipedia eine sehr schönes Beispiel gefunden, welches das Anschaulich klar macht: Sei die Menge $\begin{eqnarray} A :=\left\{a, b, c, ... , z\right\} \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} 26 \end{eqnarray}$ Buchstaben des Alphabets und die Menge $\begin{eqnarray} B:=\left\{1, 2, 3, ... ,26 \right\} \end{eqnarray}$ die ersten $\begin{eqnarray} 26 \end{eqnarray}$ natürlichen Zahlen. Die Funktion $\begin{eqnarray} f: A\to B \end{eqnarray}$ soll nun jedem Buchstaben "seine" Zahl zuordnen, während $\begin{eqnarray} f^{-1}: B \to A \end{eqnarray}$ als Umkehrfunktion jeder Zahl einen Buchstaben zuordnet. Es ist mit einem Beispiel schnell klar wie das $\begin{eqnarray} f(f^{-1}(x))=x \end{eqnarray}$ bzw andersrum gilt.
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14.04.2007, 06:59	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Lazerus, also wenn ich dich richtig verstehe, muss ich dieses $\begin{eqnarray} f(x) = 7x + 6exp(7x) + 8 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ umbauen und nach x umstellen? So das dort später steht: $\begin{eqnarray} x=..... \end{eqnarray*}$ Ist das so richtig? Viele Grüße --MrMilk
14.04.2007, 07:50	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das auf jedenfall, ja. Ziel ist es eine oder ggf. mehrere Funktion(en) $\begin{eqnarray} g_i(y)=x \end{eqnarray}$ zu erhalten. Da $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ allerdings bijektiv ist (mach dafür auch mal nen Nachweis) ist $\begin{eqnarray} i=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(y)=f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ .
14.04.2007, 09:27	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Lazarus, kannst du mir sagen, wie du einen Nachweis dafür machen würdest? Das einzige was mir dazu einfallen würde, wäre Induktion, aber ich glaube das ist an dieser Stelle nicht wirklich sinnvoll... Viele Grüße -- MrMilk
14.04.2007, 09:28	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heisst denn "eine Funktion ist Bijektiv" ?

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