Ebene oder Gerade?

13.04.2007, 20:43

Dunkit

Ebene oder Gerade?

Bin hier gerade auf eine Aufgabe gestoßen:

Zitat:

Ermittle eine parametergleichung für die entsprechende Ebene!
... d) x + z = -5

Eigentlich sieht das ja mehr aus wie eine Gerade, aber ich habe mich trotzdem mal rangemacht:

$\begin{eqnarray*} 1x_1 + 0x_2 + 1x_3 = -5 \end{eqnarray*}$
Seien
$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 + 1 \lambda + 0 \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 0 + 0 \lambda + 1 \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3 = -5 - 1 \lambda + 0 \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und das wiederrum erfüllt doch alle Bedingungen für eine Ebenengleichung, oder? Also einen Stützvektor und zwei l.u. Spannvektoren. Und was verbotenes habe ich doch auch nirgendwo getan?
Also was ist das denn nun???

13.04.2007, 21:00

vektorraum

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RE: Ebene oder Gerade?
Hi!

Deine Ebenengleichung in Parameterform ist richtig. Aber warum ist es keine Gerade, war deine Frage gewesen. Nun im allgemeinen hättest du Recht, wenn nichts explizites dastehen würde. Dann könntest du das Ding ja umformen, z.B. zu $\begin{eqnarray*} x=-z-5 \end{eqnarray*}$ und hättest eine wunderschöne Geradengleichung. Da ist die Notation, ob $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ oder Äpfel oder Pflaumen völlig unerheblich.

Nun haben wir aber hier den Fall, das explizit nach einer Parametergleichung der gegebenen Ebene gefragt ist. Sieht vielleicht etwas untypisch aus, aber diese Ebene hat gerade wegen ihres fehlenden $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eine Besonderheit.

Kann man im übrigen auch meistens daran erkennen, dass es eine Ebene ist, in dem man sich mal die Variablen anschaut - und das zugehörige dreidimensionale kartesische Koordinatensystem, deren Achsen ja auch mit $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ beschriftet sind.

Frage geklärt? Augenzwinkern

13.04.2007, 21:02

Matti

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Das hast du gut erkannt es ist auf jeden fall eine ebene.
Aber ich hätte einfach die schnittpunkte mit den koord.achsen ausgerechnet und daraus die ebene gebildet.
Wäre für mich die einfachere variante.
Also:
für s1: 1x+0+0=-5
also ist s1(-5/0/0)
für die anderen koordinaten machst du das gleiche:

letztendlich kannst du aus den schnittpunkten dann die ebene bilden.
z.b. = 0S1+u*S1S2+v*S1S3

13.04.2007, 21:08

Dunkit

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Ok, wie man das ausrechnet ist ja wieder eine andere Frage ;-)

Es ist also eine Ebene, aber was ist die Besonderheit?
Ich darf den Punkt x_2 ja quasi frei wählen, aber was sagt mir das?

/EDIT:
Ich glaub ich habs: die x_2 Achse liegt genau auf der ebene, richtig?

13.04.2007, 21:11

Matti

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ich kann dir nur sagen ds gängig bei solchen aufgaben zum beispiel für x2 hier (0/1/0) genommen wird. Was dir das sagen soll weis ich nicht weil die ebene bleibt ja immer gleich. Die gleichungen könnten nur vielfache voneinander werden

13.04.2007, 21:13

vektorraum

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Nun, denk mal drüber nach, ob die Ebene irgendwo einbeschrieben werden kann. Wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ beliebig ist, wo wird diese dann liegen???

13.04.2007, 21:22

Matti

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beliebig nicht. ist es aber nicht so das man (0/1/0) nehmen kann aber auch (0/4/0) oder (0/9/0) nehmen kann.
DAs sind ja nur vielfache

13.04.2007, 21:30

vektorraum

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Zitat:

Original von Matti
beliebig nicht. ist es aber nicht so das man (0/1/0) nehmen kann aber auch (0/4/0) oder (0/9/0) nehmen kann.
DAs sind ja nur vielfache

Was soll denn da der Unterschied sein? Du brauchst das nicht auf die natürlichen Zahlen zu reduzieren. Wieso soll denn nicht $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gelten???

Konstruiere doch mal in ein kartesisches Koordinatensystem bsw. den Punkt $\begin{eqnarray*} P(1,\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ . Geht selbstverständlich auch!

13.04.2007, 21:31

Dunkit

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@Matti:
Wie willst du x_2 denn wählen, sodass es kein Vielfaches ist? Augenzwinkern

Wenn du einen Punkt hast, der auf der Eben liegt, kannst du die x_2 Koorinate doch beliebig verändern Augenzwinkern

wegen des $\begin{eqnarray*} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.04.2007, 21:33

Matti

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soll das heisen das ich für y alles einsetzen darf. hab das bis jetzt einfach immer mit (0/1/0) gemacht da es mir am einfachsten erscheint.
Oder ist das falsch?
Bin jetzt durcheinander^^

13.04.2007, 21:44

vektorraum

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Zitat:

Original von Matti
ich kann dir nur sagen ds gängig bei solchen aufgaben zum beispiel für x2 hier (0/1/0) genommen wird. Was dir das sagen soll weis ich nicht weil die ebene bleibt ja immer gleich. Die gleichungen könnten nur vielfache voneinander werden

Ich komme nochmal auf diesen Statement zurück. In dem Fall, dass du hier meinst eine Ebenegleichung in Parameterform zu erhalten, ist diese Wahl für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wahrscheinlich am günstigsten.
Aber generell solltest du im Hinterkopf behalten, dass von den Achsen jede beliebige reelle Zahl aufgespannt werden kann, sonst hätten wir ja nur einzelnde Punkte. Wenn du gut in Chemie bist, dann wäre das ja so ungefähr wie das Modell für Natrium-Chlorid - Gitterionen. Und außerdem könntest du ja Punkte dann nicht verbinden.

Weißt du was ich ausdrücken möchte???

13.04.2007, 21:59

Matti

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ich habe kein chemie. habe es zletzt in der 9 klasse gehabt.
ich habe nur mathe ^^und glaube das es dort ausreichend ist oder weil ich dort ja die parameterform oder die koordinatenform brauche

13.04.2007, 22:45

vektorraum

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Na ist ja ok. Aber siehst du ein, wo deine Argumentation schief hängt. Im allgemeinen wird man also Punkte mit ganzen Zahlen angeben. Aber es muss nicht so sein. Aber natürlich ist die Wahl dieses speziellen Punktes bei dieser Aufgabe sinnvoll.

OK, geklärt.

14.04.2007, 08:56

Tjamke

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Zitat:

Original von Dunkit
Es ist also eine Ebene, aber was ist die Besonderheit?
Ich darf den Punkt x_2 ja quasi frei wählen, aber was sagt mir das?

/EDIT:
Ich glaub ich habs: die x_2 Achse liegt genau auf der ebene, richtig?

Zu deiner Frage:
Also zuerst mal: auf der Ebene liegt die x_2 Achse nicht, wenn dann in ihr. Und in deinem Fall $\begin{eqnarray*} x_1+x_3=-5 \end{eqnarray*}$ nicht mal das, das sie nicht durch den Ursprung geht, aber die Ebene ist parallel zur x_2 Achse.

Edit: Wenn die Ebene durch den Ursprung gehen würde, würde es heißen $\begin{eqnarray*} x_1+x_3=0 \end{eqnarray*}$

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