Diagonalisierbarkeit

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beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit
hallo
wir sind in der vorlesung grad bei diagonalisierbarkeit und ich hab folgende aufgabe zu beweisen:
"Sei V ein endlichdim. Vektorraum über K und P ein Endomorphismus , wobei , also P eine Projektion.
Zeige, dass jede Projektion diagonalisierbar ist."

Naja, ich hab da ein grundlegendes Verständnisproblem. Wann ist eine Matrix diagonalisierbar? In der Literatur steht, die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte müssen zusammen die Dimension des Vektorraumes n ergeben. Dann wäre doch aber nicht jede Projektion diagonalisierbar, da es doch auch nicht-surjektive Projektionen gibt (und wenn ich mir das richtig überlegt habe, kann die Dimension aller Eigenräume nicht größer als die Dimension des Bildes sein), oder seh ich das falsch?

Ähnlich geht es mir bei einer anderen Aufgabe mit einer 3x3 Matrix, die wohl diagonalisierbar ist (wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe):

die Matrix hat rang = 3 und charakteristisches polynom
und für die beiden eigenwerte jeweils einen eigenvektor (also nur 2 EV)
wie kann ich die Matrix mit nur 2 Eigenvektoren diagonalisieren, wenn das Bild 3-dimensional ist?

gebt mir die erleuchtung Tanzen
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Matrix muss keine surjektive Abbldung beschreiben um diagonalsierbar zu sein. Einfachstest Beispiel ist die Nullmatrix die als Endomorphismus gesehen weder injektiv noch surjektiv ist, wohl aber diagonalisierbar ist.

Zitat:
die Matrix hat rang = 3


Der Rang ist völlig unerheblich für die Diagonalisierbarkeit, siehe wieder die Nullmatrix.

Zitat:
wie kann ich die Matrix mit nur 2 Eigenvektoren diagonalisieren, wenn das Bild 3-dimensional ist?


Garnicht, weil wie Du oben schon gesagt hast die Summe der geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte = n also in Deinem Fall gleich 3 sein muss. Zu der konkreten Matrix:

Entweder hast die Basis des Eigenraums zum Eigenwert 2 nicht richtig berechnet (d.h ein lin. unabhängiger Vektor fehlt) oder aber die Matrix ist schlichtweg nicht diagonalisierbar.

zu der Eigentlichen Auf´gabe schreib ich später was, entweder per edit oder bei Antwort mit neuem post, muss jetzt weg
beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »

matlab bestätigt eigentlich meine rechung. dann ist sie also nicht diagonalisierbar.
danke, ich glaube so langsam leuchtet es mir ein, was es mit diagonalisierbarkeit auf sich hat!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zur eigentlichen Aufgabe:

Ist P eine Projektion so gilt:



Zeige zunächst das wegen P = P² nur die Eigenwerte 0 und 1 exisiteren, dann schau Dir die Eigenräume genauer an und erinner dich mal an die direkte Summe von Bild und Kern, bzw. schau dir an was der Dimensionssatz für Bild und Kern sagt.
beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »

danke, das wär geritzt Freude
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