Aufgabe Konvergenzverhalten |
| 23.11.2004, 22:24 | Gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
HAbe hier eine glaub ich äußerst schwierige Aufgabe: Untersuchen sie in Abhängigkeit von den Startwerten das Konvergenzverhalten der Folge (m,n-1,n+1 ist jeweils der Index. also n-tes Glied der Folge n+1 das nächste Glied der Folge usw.) Eigentlich dürfte diese Folge ja gar nicht konvergieren. Weil: existiert ein Grenzwert g konvergieren alle Folgenglieder d.h. g = g/g + g = 1+g Widerspruch zu Konvergenz! Oder? edit: Hab mal die Indizes der Folgenglieder tiefgestellt 
(MSS) |
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| 23.11.2004, 22:26 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe Konvergenzverhalten Das macht keinen Sinn! Du meinst a_(n+1) oder und a_(n) und a_(n-1)? mfg |
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| 23.11.2004, 22:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, wahrscheinlich ist die Folge divergent, ich weiß aber nicht, ob deine Darstellung als Beweis reicht, müsste ich nochmal drüber nachdenken ... Auf jeden Fall ist der Ansatz nicht schlecht, ich glaube, du kannst da in Richtung Cauchy-Folge gehen und zeigen, dass der Unterschied zwischen und eben nicht beliebig klein wird. |
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| 24.11.2004, 11:31 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast die korrekte Lösung doch schon selber gefunden! Unabhängig von den Startwerten läßt sich aus der Annahme, daß a_n konvergiert ein Widerspruch folgern. Fertig! Voraussetzung für das ganze Geschäft ist allerdings daß a_n ungleich 0 für alle n!!! |
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| 24.11.2004, 18:03 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich schreibe mal die ersten Glieder der Folge auf, vielleicht interessiert es ja jemanden: a2 = a1/a0 + a0 a3 = a2/a1 + a1 a4 = a3/a2 + a2 = a3/a2 + a1/a0 + a0 a5 = a4/a3 + a3 = a4/a3 + a2/a1 + a1 a6 = a5/a4 + a4 = a5/a4 + a3/a2 + a1/a0 + a0 a7 = a6/a5 + a5 = a6/a5 + a4/a3 + a2/a1 + a1 damit dürfte das Bildungsgesetz schon mal klar sein (mit a(0)=a0 usw. ab jetzt): a(2n) = a(0) + a(1)/a(0) + a(3)/a(2) + ... + a(2n-1)/a(2n-2) und a(2n+1) = a(1) + a(2)/a(1) + a(4)/a(2) + ... a(2n)/a(2n-1) Man hat also 2 getrennte Reihenentwicklungen, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist. Der Ansatz eines Grenzwertes g führte nicht zum Ziel, siehe oben, man könnte aber überprüfen, on die a(n) für große n unfähr linear mit n zunehmen, also a(n) = ungefähr k*n: das ergibt in die Ausgangsgleichung eingesetzt die Abschätzung k*n = ungefähr k*(n-1)/k*(n-2) + k*(n-2) also k*n - k*(n-2) * 2*k = ungefähr (n-1)/(n-2) Nun ist für große n: (n-1)/(n-2) = ungefähr 1, so dass man evtl. schließen kann: k= 1/2, und man erhält für sehr große n: a(n) = n/2 + A, wobei das A wohl in erster Linie von den Anfangswerten abhängt und möglicherweise gegen einen Grenzwert konvergiert. Wer will, kann ja mal diese Folge mit z.B. Excel überprüfen und verschiedene Startwerte a0 und a1 einsetzen. |
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| 05.01.2006, 23:09 | niemand | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Dein Argument schließt nur alle Grenzwerte ungleich 0 aus, falls g=0 ist kannst du nicht so rechnen! Wenn es ne konv. Folge gibt müssen also a_0 und a_1 verschiedene Vorzeichen haben. Gruss im Vorbeischauen |
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