Lineare Algebra: Körper,Ringe,Homomorphie

24.11.2004, 14:38	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra: Körper,Ringe,Homomorphie Wer kann mir bei folgender Aufgabe ein paar Tips geben? Seien (R,+, ·) ein Ring mit 1 und R× := {x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R \| $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R : x · y = y · x = 1} die Menge aller Elemente von R, die ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzen. Zeigen Sie: a) (R×, ·) ist eine Gruppe. (Man nennt R× die Einheitengruppe von R.) b) Ist S ein Ring mit 1 und f : R --> S ein (Ring-)Homomorphismus, so gilt: f(R×) C S×. c) Sind K und K* Körper und f : K --> K* ein (Körper-)Homomorphismus, so gilt: f ist injektiv. Vielen Dank im Vorraus :-)
24.11.2004, 20:12	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo gast, was hast du dir denn schon überlegt? Ausgehend davon kann ich dir auch Tipps geben. Ganz allgemein: zu (a) was muss denn erfüllt sein, dass Rx eine Gruppe ist? zu (b): Überleg dir mal (in Worten) was das heißt, was da zu zeigen ist. Und behalte bei deinen Überlegungen die Eigenschaften von Homomorphismen im Hinterkopf. zu (c): Wann ist ein Homom. denn injektiv? Gruß Anirahtak
25.11.2004, 00:00	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi.... naja....dazu muss ich leider sagen, dass ich absolut nicht verstehe was ein Homomorphismus genau sein soll und ihn deswegen auch nicht anwenden kann.... kann mir das jemand möglichst genau erklären?
25.11.2004, 08:32	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Gast, ein Homomorphismus ist eine relationstreue Abbildung, oder im Komplettsprech eines Algebralehrbuches, da es ja um Ringe geht: "Unter einem Ringhomomorphismus versteht man eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: A \to B \end{eqnarray}$ eines Ringes in den anderen, die ein monoidaler Homomorphismus bzgl. der multiplikativen Struktur in A bzw. B ist und die weiterhin ein monoidaler Homomorphismus für die additive Struktur ist. Mit anderen Worten, f muss die Bedingungen $\begin{eqnarray} f(a + a') = f(a) + f(a'), f(a a') = f(a) f(a'), f(1) = 1, f(0) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a, a' \in A \end{eqnarray}$ erfüllen." Hast Du gemerkt, wie subtil diese Profis sind, die Definition ist selbsterklörend, denn es wurde innerhalb der Definition die Wortgruppe "monoidaler Homomorphismus" verwendet. Also weiter: "Ein Monoid ist eine Menge G mit einem assoziativen Kompositionsgesetz und einem Einselement." "Seien G, G' Monoide. Ein monoidaler Homomorphismus (oder kürzer Homomorphismus) von G nach G' ist eine Abbildung $\begin{eqnarray} f : G \to G' \end{eqnarray}$ , die die Bedingung $\begin{eqnarray} f(x y) = f(x) f(y), f(1) = 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in G \end{eqnarray}$ erfüllt. Wenn G und G' Gruppen sind, dann ist ein Gruppenhomomorphismus von G nach G' einfach ein monoidaler Homomorphimus". (Serge Lang, Algebra). Was er damit meint, ist, dass der Homomorphismus bei Strukturen mit mehreren Operationen (Ringe, Körper) pro Operation aufgebaut werden muss. Und der Homomorphimus bzgl. einer Struktur mit nur einer Operation (Gruppe) ist einfach ein "monoidaler" Homomorphismus, also eine relationstreue Abbildung bzgl. dieser einen Operation. Damit sind wir wieder am Anfang der Reise. Wichtig ist noch, dass in den verschiedenen Ringen (Urbildring und Bildring) die Operation + und * ganz verschieden aufgebaut sein können, ebenso wie die dazugehörigen additiven und multiplikativen Einselemente.

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