differentialgleichung y'=(x+y)^2

24.11.2004, 15:43

Thomas L.

differentialgleichung y'=(x+y)^2

Ich muss folgende DGL lösen

y'=(x+y)^2 mit y(0)=0

ich hab schon versucht die homogene Dgl

y'-2xy-y^2=0 durch substituion ( z=y^-1) (Bernoullische Differentialgleichung)
zu lösen, hat aber nicht funktioniert da ich später e^X^2 integrieren musste .
Das ist glaub ich auch nicht der richtige ansatz. Ich hoffe mal das mir jemand helfen kann.

24.11.2004, 17:40

iammrvip

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RE: differentialgleichung y'=(x+y)^2

Zitat:

Original von Thomas L.
Ich muss folgende DGL lösen

y'=(x+y)^2 mit y(0)=0

ich hab schon versucht die homogene Dgl

y'-2xy-y^2=0 durch substituion ( z=y^-1) (Bernoullische Differentialgleichung)
zu lösen, hat aber nicht funktioniert da ich später e^X^2 integrieren musste .
Das ist glaub ich auch nicht der richtige ansatz. Ich hoffe mal das mir jemand helfen kann.

mach's doch nicht so schwer. substituiere einfach mal $\begin{eqnarray*} u = x + y \end{eqnarray*}$

25.11.2004, 08:02

Thomas L.

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ich hab jetzt z=x+y substituiert, dann folgt

$\begin{eqnarray*} z' - z^2=1 \end{eqnarray*}$

die homogene Lösung ist
$\begin{eqnarray*} z=-\frac{1}{x+C} \end{eqnarray*}$
Variation der Konstanten C=C(x) ergibt
$\begin{eqnarray*} z'=\frac{1}{(x+C)^{2}}(1+C') \end{eqnarray*}$
Nach einsetzen in die DGL folgt
$\begin{eqnarray*} \frac{C'}{(x+C)^2} =1 \end{eqnarray*}$
das ist genau die DGL die ich am anfang lösen wollte.
Normalerweise hebt sich ja auch C(x) beim einseten in die DGL heraus, oder!?

25.11.2004, 08:33

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Zitat:

Original von Thomas L.
ich hab jetzt z=x+y substituiert, dann folgt

$\begin{eqnarray*} z' - z^2=1 \end{eqnarray*}$

die homogene Lösung ist
$\begin{eqnarray*} z=-\frac{1}{x+C} \end{eqnarray*}$
Variation der Konstanten C=C(x) ergibt

Da verwechselst du was. Variation der Konstanten hilft i.a. nur bei LINEAREN Differenzialgleichungen.
$\begin{eqnarray*} z' - z^2=1 \end{eqnarray*}$ ist aber nicht linear!

Ich sage nur: Trennung der Variablen (wobei hier sogar wenig zu "trennen" ist, da gar kein "x" in der Dgl auftaucht. Das war ja gerade der Sinn des Tipps von iammrvip.)

25.11.2004, 15:07

Thomas L.

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ich habs endlich raus die Lösung ist

$\begin{eqnarray*} y'=tan(x+C)-x \end{eqnarray*}$

mit C=0 (um Anfangsbedingung zu erfüllen)

vielen Dank an die, die geholfen haben

25.11.2004, 15:20

iammrvip

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Zitat:

Original von Thomas L.
ich habs endlich raus die Lösung ist

$\begin{eqnarray*} y'=tan(x+C)-x \end{eqnarray*}$

mit C=0 (um Anfangsbedingung zu erfüllen)

vielen Dank an die, die geholfen haben

japp. jetzt ist alles richtig Freude

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