Meßbar- und Summierbarkeit

24.11.2004, 14:44

summer

Meßbar- und Summierbarkeit

Hallo!
Hab hier irgendwie arge Probleme mit einer Maßtheorieaufgabe!!
Vlt könnt ihr mir helfen!!

Also ich habe einen Maßraum [ X , A , my(weiss nich, wie ich hier griechische Buchstaben schreibe)] gegeben!! Die charakteristische Fkt. einer Menge B $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A ist definiert durch:

chi (x) = 0 , $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ x, die nicht $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B und 1 , $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B

Ich soll zeigen, dass chi (x) meßbar ist, und wann die Fkt. chi (x) my-summierbar ist!

wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte

24.11.2004, 19:27

Anirahtak

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Hallo,

ich weiß nicht, ob's der beste Weg ist, aber ich würde es so machen:
Du hast eine Abbildung nach X={0, 1}. Was ist denn die Sigma-Algebra über X?
Und wann heißt eine Abbildung µ-messbar?

Und jetzt brauchst du nur noch 4 Fälle nachprüfen...

Wie gesagt, ist nicht wirklich elgant - aber es führt zum Ziel Augenzwinkern

Gruß
Anirahtak

24.11.2004, 20:02

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RE: Meßbar- und Summierbarkeit
So wie ich den Begriff "Meßbarkeit einer reellwertigen Funktion" kenne,
ist damit immer $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{A})\to (\mathbb{R}^1,\mathcal{B}^1) \end{eqnarray*}$ - Messbarkeit gemeint ( $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^1 \end{eqnarray*}$ ... Borelmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ ).

Daher ist für alle Borelmengen U nachzuweisen, dass die Urbilder

$\begin{eqnarray*} \chi^{-1}(U) \end{eqnarray*}$

in der Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ liegen.

Anirahtak hat natürlich insofern recht, dass für die Bestimmung des Urbildes nur maßgeblich ist, ob 0, ob 1, ob beide oder ob keine der beiden Zahlen in U enthalten sind.

24.11.2004, 20:49

summer

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@ arthur dent: so haben wir die meßbarkeit auc def.!
aber wie komm ich darauf in diesem konkreten fall??

24.11.2004, 21:18

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Zitat:

Original von summer
@ arthur dent: so haben wir die meßbarkeit auc def.!
aber wie komm ich darauf in diesem konkreten fall??

Wie Anirahtak bereits erwähnte: Alle 4 Fälle überprüfen.

Konkret:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} 0\in U, 1\in U \end{eqnarray*}$

2.Fall: $\begin{eqnarray*} 0\in U, 1\notin U \end{eqnarray*}$

3.Fall: $\begin{eqnarray*} 0\notin U, 1\in U \end{eqnarray*}$

4.Fall: $\begin{eqnarray*} 0\notin U, 1\notin U \end{eqnarray*}$

Und nun in jedem der Fälle

$\begin{eqnarray*} \chi^{-1}(U) = \left\{ x\in X:\; \chi(x)\in U \right\} \end{eqnarray*}$

bestimmen!

(Also ausführlicher kann ich die Anleitung nun wirklich nicht machen!)

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