Integral Flächenberechnung

24.11.2004, 16:33

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral Flächenberechnung

Hi,

Gegeben ist die Funktion f(x)=x^3. Eine Gerade der Form y=mx mit
$\begin{eqnarray*} m \geq 0 \end{eqnarray*}$ schließt im 1. Feld mit dem Graphen von f eine Fläche ein. Bestimmen sie m so, dass der Inhalt der Fläche 2,25 ist. Drücken sie dazu die gesuchte Schnittstelle der Graphen un den Flächeninhalt in Abhängigkeit von m aus.

da geht dann die Gerade y=mx durch und diese Fläche soll man so berechnen, dass 2,25 rauskommt. Wie kann ich da rangehen ??? Wie finde ich das richtige m ?

lg
beach

24.11.2004, 16:38

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral Flächenberechnung
schneide mal die Gerade mit der Funktion, damit du die Grenzen (a,b)bekommst und dann nimmst du einfach $\begin{eqnarray*} 2,25 =|\int_{b}^{a}~(x^3-m\cdot x)~dx| \end{eqnarray*}$ und rechnest das m aus smile

smile

24.11.2004, 16:39

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne erstmal die Schnittpunkte zwischen g(x)=mx und f(x)=x^3 da kommt dann irgendwas in abhaengigkeit von m raus. Den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen rechnest du ja so aus.

$\begin{eqnarray*} |\int_{b}^{a}~(g(x)-f(x))~dx | \end{eqnarray*}$ wobei a und b die Schnittpunkt der Funktionen sind

So und jetzt bist du drann.

24.11.2004, 18:42

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral Flächenberechnung

Zitat:

Original von grybl
schneide mal die Gerade mit der Funktion, damit du die Grenzen (a,b)bekommst und dann nimmst du einfach $\begin{eqnarray*} 2,25 =|\int_{b}^{a}~(x^3-m\cdot x)~dx| \end{eqnarray*}$ und rechnest das m aus smile

smile

hm wie kann ich denn m aufleiten?? einfach lassen oder wie ??

lg
beach

24.11.2004, 18:43

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral Flächenberechnung
aufleiten?? verwirrt

verwirrt

na überleg mal wo die untere grenze ist. tipp: die gradengleichung ist nur y = mx.

ps: nur mal ne frage: sagt das euer lehrer auch 'aufleiten'??

24.11.2004, 18:49

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hummma
Berechne erstmal die Schnittpunkte zwischen g(x)=mx und f(x)=x^3 da kommt dann irgendwas in abhaengigkeit von m raus. Den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen rechnest du ja so aus.

$\begin{eqnarray*} |\int_{b}^{a}~(g(x)-f(x))~dx | \end{eqnarray*}$ wobei a und b die Schnittpunkt der Funktionen sind

So und jetzt bist du drann.

mx = x^3

x^3-x=m und jetzt ???
x(x^2-1)=m

d.h. x = m ?? smile

smile

Zitat:

Original von iammrvip
aufleiten?? verwirrt

verwirrt

na überleg mal wo die untere grenze ist. tipp: die gradengleichung ist nur y = mx.

ps: nur mal ne frage: sagt das euer lehrer auch 'aufleiten'??

muss ich da jetzt nicht die Stammfunktion bilden ?? hm weiß net heißt das net aufleiten ? smile

smile

edit: Dopelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!! Danke. (MSS)

Anzeige

24.11.2004, 18:51

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von beachboy
mx = x^3

x^3-x=m und jetzt ???
x(x^2-1)=m

d.h. x = m ?? smile

smile

nein. das nicht. guck mal wann dein term $\begin{eqnarray*} x(x^2-1) \end{eqnarray*}$ null wird. der ansatz ist schon mal gut.

edit: bitte benutze die edit-funktion.
aufleiten ist mathematisch falsch. man sagt es nur gern, weil man auch ableiten sagt ich weiß schon. naja...

24.11.2004, 19:01

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

Original von beachboy
mx = x^3

x^3-x=m und jetzt ???
x(x^2-1)=m

d.h. x = m ?? smile

smile

nein. das nicht. guck mal wann dein term $\begin{eqnarray*} x(x^2-1) \end{eqnarray*}$ null wird. der ansatz ist schon mal gut.

edit: bitte benutze die edit-funktion.
aufleiten ist mathematisch falsch. man sagt es nur gern, weil man auch ableiten sagt ich weiß schon. naja...

na bei x(x^2-1)=0

ist x1 = 0

24.11.2004, 19:17

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von beachboy
na bei x(x^2-1)=0

ist x1 = 0

und wann ist $\begin{eqnarray*} x^2-1 = 0 \end{eqnarray*}$ ??

24.11.2004, 19:29

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

Original von beachboy
na bei x(x^2-1)=0

ist x1 = 0

und wann ist $\begin{eqnarray*} x^2-1 = 0 \end{eqnarray*}$ ??

bei 1^2

dh.

x1= 0
x2= 1 ??

mal ne dumme frage zu nem anderen thema vielleicht kannst du mir auch helfen: und zwar was ist das, bzw. wie kann ich das so umformen, dass ich da auf 2 lösungen komme ?

$\begin{eqnarray*} -x^{2} +4,25 = \frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

24.11.2004, 19:44

murray

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Wurzelziehen (!gilt nur für Umkehrfunktionen!) musst bei geraden Wurzelexponenten + und - unterscheiden!

$\begin{eqnarray*} x^{2}-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} _{1}x_{2}=\pm\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Und übrigens bekommst du so 3 Nullstellen raus! x0=0 x1=1 x2=-1

Und bei dir:

Zitat:

Original von beachboy
mal ne dumme frage zu nem anderen thema vielleicht kannst du mir auch helfen: und zwar was ist das, bzw. wie kann ich das so umformen, dass ich da auf 2 lösungen komme ?

$\begin{eqnarray*} -x^{2} +4,25 = \frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

Dies wär ne Gleichung 4.ten Grades (wenn du mal x^2 rechnest, steht x^4 da). Lässt sich aber mit Substitution:

$\begin{eqnarray*} u=x^{2} \end{eqnarray*}$

leicht lösen,

Aaabbberrrr: Es kommen dennoch 4 Lösungen heraus! Weil 4. Grad!!!

mfg

24.11.2004, 19:55

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von murray
Beim Wurzelziehen (!gilt nur für Umkehrfunktionen!) musst bei geraden Wurzelexponenten + und - unterscheiden!

$\begin{eqnarray*} x^{2}-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} _{1}x_{2}=\pm\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Und übrigens bekommst du so 3 Nullstellen raus! x0=0 x1=1 x2=-1

Und bei dir:

Zitat:

Original von beachboy
mal ne dumme frage zu nem anderen thema vielleicht kannst du mir auch helfen: und zwar was ist das, bzw. wie kann ich das so umformen, dass ich da auf 2 lösungen komme ?

$\begin{eqnarray*} -x^{2} +4,25 = \frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

Dies wär ne Gleichung 4.ten Grades (wenn du mal x^2 rechnest, steht x^4 da). Lässt sich aber mit Substitution:

$\begin{eqnarray*} u=x^{2} \end{eqnarray*}$

leicht lösen,

Aaabbberrrr: Es kommen dennoch 4 Lösungen heraus! Weil 4. Grad!!!

mfg

oh stimmt hat ich übersehn smile

smile

danke ! aber nun habe ich ja diese drei x aber wie geh ich jetzt weitervor im Bezug auf das m????

ja genau perfekt muss ne gleichung 4ten Grades werden gibt doch 4 schnittpunkte ... hmm Substitution hatte ich noch nicht unglücklich

unglücklich

so stimmts odda ?

$\begin{eqnarray*} -x^{4} +4,25x^{2} -1=0 \end{eqnarray*}$

lg
beach

24.11.2004, 19:57

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

@beachboy

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\pm\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

(wegen der punktsymmetrie des graphen reicht es die rechnung für eine stelle durchzuführen)

also ist $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ deine untere grenze und $\begin{eqnarray*} x_2 = \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ deine ...

24.11.2004, 19:59

murray

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung kann ich nicht hinschreiben, weil sonst krieg ich Forum Kloppe

Forum Kloppe

! Aber... Warum 3 x ??? Du meinst wohl eher 2 u!!! Und 4 Lösungen bekommst du immer, ob schneiden oder nicht! (Wenns mal nicht 4 mal schneidet fallen zwei zusammen)(oder es liegt in der Komplexen-Ebene: Aber das ist eine andere Geschichte)!

24.11.2004, 20:02

murray

Auf diesen Beitrag antworten »

@iammrvip: Du meinst wohl eher Achsensymmetrie? (Sind ja nur gerade Grade im Polynom)

@beachboy: Ja und jetzt substituiere mit $\begin{eqnarray*} x^{2}=u \end{eqnarray*}$ , => Quadratische Gleichung

=> Kinderleicht zum lösen (!!!Achtung sowas funktioniert nur,wenn die einzelnen Grade des Polynoms ein ganzzahliges Vielfaches von einander sind)!

Substituieren heisst: Ersetzen eines Terms durch eine Variable!
Abbbbeeerrr: Man darf nicht vergessen, dass die Variable nur Platzhalter für den Term ist!

z.B.: $\begin{eqnarray*} -x^{4}+4.25\cdot x^{2}-1=0 \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} u=x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -u^{2}+4.25\cdot u-1=0 \end{eqnarray*}$

Quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} _{1}u_{2}=\frac{4.25}{2}\pm\sqrt{\frac{4.25^{2}}{4}-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1}=4 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} _{1}x_{2}=\pm\sqrt{u_{1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{2}=0.25 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} _{3}x_{4}=\pm\sqrt{u_{1}} \end{eqnarray*}$

mfg

24.11.2004, 20:04

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
@beachboy

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\pm\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

(wegen der punktsymmetrie des graphen reicht es die rechnung für eine stelle durchzuführen)

also ist $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ deine untere grenze und $\begin{eqnarray*} x_2 = \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ deine ...

meine obere ?? weiß aber jetzt nicht was du mit Grenze meinst? Meinst du damit die a und b beim integral ? $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 2,25 =|\int_{0}^{1}~(x^3-m\cdot x)~dx| \end{eqnarray*}$

richtig so ? aber weiß nun nich wie ich m ausrechnen kann ?

24.11.2004, 20:15

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine obere Grenze ist falsch. Du bekommst die wenn du die Funktionen gleichsetzt. Das hast du oben schon mal gemacht blos hast du die Gleichung dann falsch aufgeloesst. Dann musst du halt die Stammfunktion suchen und die Gleichung dann nach m aufloesen.

24.11.2004, 20:34

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm dachte Wurzel 1 is die obere ?? wie meinst du wo hab ich denn falsch aufgelöst ????

lg
beach

24.11.2004, 20:34

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

@murray
ich meinte punktsymmetrisch zum ursprung.

@beachboy

b..untere grenze
a..obere grenze

24.11.2004, 20:43

murray

Auf diesen Beitrag antworten »

@iammrvip: Passt, du meintes andere Funktion!

24.11.2004, 20:44

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von murray
@iammrvip: Passt, du meintes andere Funktion!

japp. ich meinte $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ wegen der geraden und so. weißt ja was ich mein Big Laugh

Big Laugh

.

Zitat:

Original von beachboy
hmm dachte Wurzel 1 is die obere ?? wie meinst du wo hab ich denn falsch aufgelöst ????

dann musst du aber auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ hinschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

also meintest du:

$\begin{eqnarray*} 2.25 =\left| \int_{0}^{\sqrt{1}}~x^3-m\cdot x~dx \right| \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

ja ne?? jetzt rechnest du ganz normal das integral mit grenzen aus und stellst das ergebnis nach m um.

24.11.2004, 20:56

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

=> $\begin{eqnarray*} 2,25 =|\int_{0}^{1}~(x^3-m\cdot x)~dx| \end{eqnarray*}$

stimmt das ???

$\begin{eqnarray*} 2,25 =|\int_{0}^{1}~(x^3-m\cdot x)~dx| [\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} m^{2}\cdot\frac{1}{2} x^{2} ]_{0}^{\sqrt{1} } \end{eqnarray*}$

24.11.2004, 20:58

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von beachboy
=> $\begin{eqnarray*} 2,25 =|\int_{0}^{1}~(x^3-m\cdot x)~dx| \end{eqnarray*}$

stimmt das ???

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} m^{2}\cdot\frac{1}{2} x^{2} ]_{0}^{\sqrt{1} } \end{eqnarray*}$

warum denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}m^2 \end{eqnarray*}$ . du integrierst doch nach x. m ist bloß eine konstante.

24.11.2004, 20:59

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

Original von beachboy
=> $\begin{eqnarray*} 2,25 =|\int_{0}^{1}~(x^3-m\cdot x)~dx| \end{eqnarray*}$

stimmt das ???

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} m^{2}\cdot\frac{1}{2} x^{2} ]_{0}^{\sqrt{1} } \end{eqnarray*}$

warum denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}m^2 \end{eqnarray*}$ . du integrierst doch nach x

hmm weiß nicht habs mir mal gedacht smile

smile

also das m einfach so lassen ???

24.11.2004, 21:01

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von beachboy
hmm weiß nicht habs mir mal gedacht smile

smile

also das m einfach so lassen ???

japp. genau richtig Freude

Freude

.

24.11.2004, 21:08

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

ist m=-4 ????

24.11.2004, 21:20

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

so jetzt gibts mal kurz Forum Kloppe

Forum Kloppe

von mir!

Augenzwinkern

Es ist äußerst verwirrend in einem Thread zwei verschiedene Probleme zu behandeln.

Und soviel zitieren fördert auch nicht gerade die Lesbarkeit. unglücklich

unglücklich

Also ich kenn mich nicht mehr aus! Hammer

Hammer

Zu bedenken gebe ich, dass die Schnittpunkte bei Kurve Gerade nicht stimmen. verwirrt

verwirrt

hummma hat das schon längst mal angemerkt.

bei mir ist m=3 oder m=-3 verwirrt

verwirrt

24.11.2004, 21:23

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von grybl
so jetzt gibts mal kurz Forum Kloppe

Forum Kloppe

von mir!

Augenzwinkern

Es ist äußerst verwirrend in einem Thread zwei verschiedene Probleme zu behandeln.

Und soviel zitieren fördert auch nicht gerade die Lesbarkeit. unglücklich

unglücklich

Also ich kenn mich nicht mehr aus! Hammer

Hammer

Zu bedenken gebe ich, dass die Schnittpunkte bei Kurve Gerade nicht stimmen. verwirrt

verwirrt

hummma hat das schon längst mal angemerkt.

na toll shit hmm unglücklich

unglücklich

und wieso stimmen die nicht ?? wie mach ich es richtig ???

24.11.2004, 21:24

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

@beachboy

$\begin{eqnarray*} m = -4 \end{eqnarray*}$ ist richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

. zum mindest, wenn die schnittpunkte stimmen. da muss ich erst nochmal gucken. also es ist auf alle fälle die lösung des integrals von oben.

24.11.2004, 21:32

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
@beachboy

$\begin{eqnarray*} m = -4 \end{eqnarray*}$ ist richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

. zum mindest, wenn die schnittpunkte stimmen. da muss ich erst nochmal gucken.

jap hoffentlich stimmen die ^^

24.11.2004, 21:33

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

du schneidest $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\cdot x \end{eqnarray*}$ oder?

$\begin{eqnarray*} x^3=m\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3-m\cdot x= 0 \end{eqnarray*}$

ausklammern

$\begin{eqnarray*} x\cdot (x^2-m)=0 <=> x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=-\sqrt{m} \end{eqnarray*}$

24.11.2004, 21:37

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von beachboy
mx = x^3

x^3-x=m und jetzt ???
x(x^2-1)=m

ich seh grad:

$\begin{eqnarray*} mx = x^3 \end{eqnarray*}$

also -mx. du hast das m vergessen!

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 - mx \end{eqnarray*}$

also ist x??
edit: das hat sich dann wohl erledigt smile

smile

24.11.2004, 21:44

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

=>

$\begin{eqnarray*} 2,25 =|\int_{0}^{\sqrt{m}}~(x^3-m\cdot x)~dx| [\frac{1}{4} x^{4}- m\cdot\frac{1}{2} x^{2} ]_{0}^{\sqrt{m} } \end{eqnarray*}$

???

$\begin{eqnarray*} 2,25=2,25=\frac{1}{4}\sqrt{m} ^{4} -m\cdot \frac{1}{2} \sqrt{m} ^{2} \end{eqnarray*}$

edit: stimmt das so mit den Grenzen ??????

edit: so jetz stimmts !!!!

24.11.2004, 21:57

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Gryb hat doch die Schnittpunkte schon ausgerechnet. Und zwei davon sind deine Grenzen. Deine Fläche soll im ersten Quadranten liegen. Jetzt musst dir halt ueberlegen welche Grenzen du wählen musst.

24.11.2004, 22:04

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hummma
Gryb hat doch die Schnittpunkte schon ausgerechnet. Und zwei davon sind deine Grenzen. Deine Fläche soll im ersten Quadranten liegen. Jetzt musst dir halt ueberlegen welche Grenzen du wählen musst.

ja untere 0 obere = $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} \end{eqnarray*}$

oder ??

24.11.2004, 22:07

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

ja des passt jetzt. Du hast beim integrieren ein 0,5 zuviel hingeschrieben des hast du aber im naechsten schritt wieder weggelassen. Jetzt musst die gleichung halt noch nach m aufloesen und fertig.

24.11.2004, 22:13

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hummma
ja des passt jetzt. Du hast beim integrieren ein 0,5 zuviel hingeschrieben des hast du aber im naechsten schritt wieder weggelassen. Jetzt musst die gleichung halt noch nach m aufloesen und fertig.

hm ok aber wie bekomm ich denn diese blöden wurzeln da weg ???

24.11.2004, 22:16

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Quadrate toeten unsere Wurzeln. Sie gegeben ihnen den Todesstoss. Big Laugh

Big Laugh

Hat mal ein Lehrer von uns gesagt.

24.11.2004, 22:41

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hummma
Die Quadrate toeten unsere Wurzeln. Sie gegeben ihnen den Todesstoss. Big Laugh

Big Laugh

Hat mal ein Lehrer von uns gesagt.

ja stimmt

smile

dann also so :

$\begin{eqnarray*} 2,25=\frac{1}{4}{m^2} ^{4} -m\cdot \frac{1}{2}{m^2} ^{2} \end{eqnarray*}$

wie is da nochmal die regel mit den potenzen ?? ewinfach addieren oder multiplizieren ?

edit: kann mir jemand mal nen tipp geben wie ich da gescheit nach m auflöse ?? unglücklich

unglücklich

will endlich die lösung smile

smile

24.11.2004, 22:48

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja eigentlich ist das eher Kamikaze. Aber lassen wir dass. Du musst halt die Potenzgesetzte anwenden.

$\begin{eqnarray*} 2,25=\frac{1}{4}\sqrt{m} ^{4} -\frac{1}{2}\sqrt{m}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2,25=\frac{1}{4}m^{(0,5*2*2)} -\frac{1}{2}m^{(0,5*2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2,25=\frac{1}{4}m^{2} -\frac{1}{2}m \end{eqnarray*}$

Diese Art von Gleichungen sollte dir dann eigentlich bekannt vorkommen.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »