Flächenberechnung:regelmäßiges 6-Eck

14.04.2007, 11:10

Tjamke

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Flächenberechnung:regelmäßiges 6-Eck

Hallo und Guten Morgen!

Ich bin schon wieder am Mathe lernen fürs Abi und bin dabei auf ein Problem gestoßen.

Aufgabe:
Ein senkrechtes Prisma mit dem Volumen V=108 VE hat als Grunfläche ein regelmäßiges Sechseck ABCDEF mit Mittelpunkt M(1/1/1) und A(3/1/-1), B(1/3/-1) sowie C(-1/3/1).

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der übrigen Punkte der Grundfläche sowie die Koordinaten des Mittelpunktes M*(m*_1/m*_2/m*_3) der Deckfläche mit m*_1, m*_2, m*_3 >0.

So, die Punkte sind kein Problem...hab ich auch schon nachgeschaut, die stimmen.
Für M* hab ich mir jetzt gedacht, dass ich über h welches ich durch
$\begin{eqnarray*} V=G*h\Rightarrow108=G*h \end{eqnarray*}$
errechnen kann.
Das Problem ist jetzt: Ich habe, um G auszurechnen, aus der Formelsammlung die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen 6-Eck genommen.
$\begin{eqnarray*} A=\frac{3}{2}*r^2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
Ich komme damit aber nicht auf das richtige Ergebniss, sowie es in der Lösung steht. Dort wurde der Flächeninhalt des Dreiecks ABM ausgerechnet und dann *6 genommen. (Wäre für mich ja auch nachvollziehbar, aber nu hatte ichs anders gerechnent und komme aber auf ein anderes Ergebnis)

Meine Rechnung bisher:

$\begin{eqnarray*} A_G=\frac{3}{2}*r^2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=\mid \vec{AM} \mid =\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} LE \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_G=\frac{3}{2}*2\sqrt{2}\sqrt{3}=3\sqrt{6}FE\neq12\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ Was die Lösung wäre...

Danke für alle Antworten! Mit Zunge

Mit Zunge

14.04.2007, 11:19

Bjoern1982

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Vielleicht solltest du dein r auch quadrieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

14.04.2007, 11:22

Tjamke

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Oh man...!Sowas passiert mir immer traurig

traurig

Danke! (Hätte mich ja auch gewundert, wenns mal nicht ein dabbischer Fehler von mir gewesen wäre!)

Danke nochmal! Mit Zunge

Mit Zunge

Edit: jetzt kmm ich auch auf die Richtige Lösung! smile

smile

14.04.2007, 11:27

Bjoern1982

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Ach....mach dir nichts draus smile

smile

Die Arbeitsschritte, die wirklich Punkte bringen hast du ja alleine geschafft.
Dass es jetzt am Ende an dieser einen Sache gescheitert ist, ist natürlich ärgerlich....aber den Hauptanteil der Punkte hast du sicher Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viel Erfolg weiterhin Wink

Wink

Gruß Björn

14.04.2007, 11:31

Tjamke

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Danke, den kann ich gebrauchen! smile

smile

Aber in einer Woche hab ichs rum, oder zumindest Mathe.

14.04.2007, 11:47

Bjoern1982

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Mathe wird doch am Dienstag geschrieben oder ?

Also wie du jetzt an M* kommst ist dir klar ja ?
Ist ja jetzt nicht nur einfach eine Anpassung der x3-Koordinate von M Augenzwinkern

Augenzwinkern

Björn

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14.04.2007, 11:58

Tjamke

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Ne Freitag, bin BW. smile

smile

Ja...wie ich an M* rankomme...also, so hätt ichs gedacht:

Ich rechne den Normalenvektor aus, der auf der Grunfläche steht. Dann rechnen ich $\begin{eqnarray*} \vec{OM*}=\vec{OM}+h*\mid \vec{n}\mid*\vec{n} \end{eqnarray*}$
oder? Geht das?
Weil wenn ich den Betrag, also die Länge des normalen Vektors mit der Höhe multipliziere erhalte ich ja...ne momment muss ich nicht nur mal dem Normalenvektor rechnen und $\begin{eqnarray*} +\vec{OM} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

14.04.2007, 12:03

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{OM*}=\vec{OM}+h*\mid \vec{n}\mid*\vec{n} \end{eqnarray*}$

Gaaanz knapp daneben.

Du musst den Normalenvektor normieren, also auf die Länge 1 bringen.

Das erreichst aber, indem du ihn durch seinen Betrag, also seine Länge, dividierst....also nicht multiplizieren smile

smile

Sonst stimmt aber dein Gedankengang vollkommen Freude

Freude

Björn

14.04.2007, 12:07

Tjamke

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Ah ok, also so?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\mid\vec{n}\mid} \end{eqnarray*}$
Geht ja auch mim Kehrwert multiplizieren, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

(mach ich liebbär)

14.04.2007, 12:10

Bjoern1982

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Find ich auch bessär Augenzwinkern

Augenzwinkern

Björn

14.04.2007, 12:14

Tjamke

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*g* Ich versuchs mir eh oft leichter zu machen und machs mir dann schwerer.
ZB bin ich oft zu faul alles aufzuschreiben und dann im Kopf rechnen ich dann fehler rein...

so zB: 2x-2=0
und dann denk ich mir ok +2 und wenn ich dann aber aufs Blatt gugg und des - seh rechne ich oft dann doch x=-1
und wegen sonem mist hab ich mir schon viele Arbeiten versaut Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hoffentlich passiert mir das beim Abi nich!

14.04.2007, 12:22

Bjoern1982

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Joa...ich drück dir auf jeden Fall die Daumen, dass alles gut läuft !

Versuch auf jeden Fall ruhig manche Sachen auf nem Schmierblatt als Nebenrechnung zu überprüfen....kann einem schon das Genick brechen, wenn man mit falschen Werten weiterrechnet und dann beispielsweise unlösbare Probleme auftauchen.

Wie lautet denn dein M* ?

14.04.2007, 12:30

Tjamke

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mein M* lautet (4/4/4)

und genau das ist mir schon mal passiert, dass ich nicht mehr weiterrechnen konnte, obwohl ich gekonnt hätte, nur weil ein Ergebniss raus kam wie
$\begin{eqnarray*} e^{x}=-3 \end{eqnarray*}$ -->naja war nicht das abi smile

smile

Hast du das M* auch raus?

14.04.2007, 12:34

Bjoern1982

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Jap...hab ich auch smile

smile

....also das M*

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{x}=-3 \end{eqnarray*}$ -->naja war nicht das abi

Genauuuu sowas meine ich ^^ aber is mir auch schonmal in ner Klausur passiert....Rechenfehler passieren leider immer mal wieder Hammer

Hammer

Auch mein Mathelehrer blieb davon nicht verschont Big Laugh

Big Laugh

14.04.2007, 12:39

Tjamke

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Och meiner auch nicht...aber irren soll ja menschlich sein LOL Hammer

LOL Hammer

Edit: Danke nochmal für die Hilfe!

14.04.2007, 12:44

Matti

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wie lautet denn bei euch die höhe.
wenn ich beim volumen 108 durch 12*Wurzel3 dividiere bekomme ich als höhe 8,66025 raus

14.04.2007, 13:00

riwe

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@tjamke, entschuldige/entschuldigt, wenn ich mich da wieder einmische.
bei bjoern bist du eh in den besten händen.

aber soweit ich mich erinnere, geht es beim abi auch um zeit.
daher ein "schnellerer" weg:

wenn man die aufgabe zuerst durchliest, sieht man, dass man zur bestimmung von M* den normalenvektor der grundebene (sowieso) braucht.

daher

$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} =4\begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=6A_{\Delta}=6\cdot\frac{1}{2}\mid\vec{n}\mid=12\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

und damit der rest im schnellverfahren:

$\begin{eqnarray*} h=\frac{108}{12\sqrt{3}}=3\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}^\star=\overrightarrow{OM}+3\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\to M^\star(4/4/4) \end{eqnarray*}$

meiner meinung nach, wird das vektorprodukt eh viel zu sehr "vernachlässigt". das macht vieles sehr viel einfacher.
werner

14.04.2007, 13:02

Bjoern1982

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Zitat:

Och meiner auch nicht...aber irren soll ja menschlich sein LOL Hammer

Hehe....hab ich auch mal irgendwo gehört Big Laugh

Big Laugh

Und gern geschehen smile

smile

@ Matti

Deine Höhe stimmt nicht....und kürze lieber anstatt zu runden....sonst erhälst du am Ende nicht (4 | 4| 4) als Mittelpunkt M*

Edit:

@werner

Vielen Dank für das Kompliment smile

smile

Gruß Björn

14.04.2007, 21:54

riwe

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Zitat:

Original von Bjoern1982
@werner

Vielen Dank für das Kompliment smile

smile

Gruß Björn

kein kompliment,
ein FAKTUM
werner

15.04.2007, 08:10

Tjamke

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Danke Werner! smile

smile

genau der Weg stand auch im Lösungsbuch, aber manchmal denk ich 'n bissel kompliziert Augenzwinkern

Augenzwinkern

hoffentlich fällt mir sowas ein dann auch ein...

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