Fehlerberechnung mittels Leibnizkriterium

14.04.2007, 11:55

Bridda

Fehlerberechnung mittels Leibnizkriterium

Hallo, vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen. ich muss den Fehler für Reihendarstellung der Machin'schen Formel mit dem Leibnizkriterium berechnen.
Formel von Machin:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4}=4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\cdot(\frac{1}{5})^{2k+1}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\cdot(\frac{1}{239})^{2k+1} \end{eqnarray*}$

Hoffentlich kann mir hier einer von euch weiterhelfen, bzw. erklären was ich machen muss.

14.04.2007, 11:59

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Die Reihendarstellung hat keinen Fehler, sie ist nämlich richtig.

Oder meinst du den Approximationsfehler, wenn man statt der Reihe nur eine endliche Partialsumme betrachtet? Der ist bei einer Leibnizreihe maximal so groß wie der Betrag des nächsten (d.h. nicht mehr in der Partialsumme berücksichtigten) Reihenelements.

14.04.2007, 12:11

Bridda

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Ich meine den Approximationsfehler. Entschuldigung unglücklich

Hm, für Leibnizreihe habe ich das schon herausgefunden. Aber wie ist es denn für diese Reihe von Machin? Ist es da genauso? Ich glaube eher nicht, da sie auch viel schneller konvergiert. Mit dem Leibnizkriterium kann man das ja berechnen, nur leider weiß ich nicht wie das geht :/

14.04.2007, 12:25

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Das ist hier doch nur die Summe zweier Leibnizreihen! Und da kannst du für die Abschätzung des Fehlers der Summe die Dreiecksungleichung anwenden:

$\begin{eqnarray*} |a+b| \leq |a|+|b| \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ der Fehler der Einzelreihen ist.

14.04.2007, 13:12

Bridda

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hm, irgendwie verstehe ich das noch nicht so ganz. ich habe jetzt was in einem buch gefunden:

Zitat:

Berücksichtigt man acht Anfangsglieder der ersten und zwei der zweiten Reihe, so sind die jeweiligen Abbruchfehler nach dem Leibnizkriterium betragsmäßig kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{4}{17\cdot5^{17}}<4\cdot10^{-13} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5\cdot239^5}<3\cdot10^{-13} \end{eqnarray*}$ .
Der Fehler für Pi selbst ist dann kleiner als $\begin{eqnarray*} 3\cdot10^{-12} \end{eqnarray*}$ . Bei einer Rechnungmit hinreichender Stellenzahl erhält man schließlich
$\begin{eqnarray*} \pi=3,1415926535+R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|R\right|<10^{-11} \end{eqnarray*}$ .

wie kommt man denn darauf?

15.04.2007, 11:50

Bridda

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keiner eine Idee? unglücklich

15.04.2007, 12:26

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Aus deinem Zitat kann man folgern, dass der Fehler der Summe - also der Fehler für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ - kleiner ist als

$\begin{eqnarray*} 4\cdot10^{-13} + 3\cdot10^{-13} = 7\cdot10^{-13} \end{eqnarray*}$ .

Also ist der Fehler für $\begin{eqnarray*} \pi = 4 \cdot \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ dann kleiner als

$\begin{eqnarray*} 4\cdot 7\cdot10^{-13} = 2.8\cdot 10^{-12} \end{eqnarray*}$

und das ist kleiner als $\begin{eqnarray*} 3\cdot 10^{-12} \end{eqnarray*}$ .

15.04.2007, 12:35

Bridda

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Danke, das hilft mir schonmal etwas weiter.

Weißt du vielleicht auch, wie man auf die, im Zitat verwendeten, Zahlen kommt? In dem Buch steht es leider nicht.

15.04.2007, 12:36

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Warum setzt du nicht ein???

Zitat:

Original von Arthur Dent
Der ist bei einer Leibnizreihe maximal so groß wie der Betrag des nächsten (d.h. nicht mehr in der Partialsumme berücksichtigten) Reihenelements.

15.04.2007, 12:40

Bridda

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Tut mir leid, aber ich steht wohl gerade irgendwie auf dem Schlauch. Was soll ich wie einsetzen?
Ich habe schon versucht, wie in dem Zitat geschrieben, die ersten acht anfangsglieder der ersten Reihe zu berechnen. Aber irgendwie komme ich einfahnich drauf unglücklich

15.04.2007, 12:43

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Ich dachte, wir sind hier in der Hochschulmathematik, nicht im Kindergarten...

Für die Approximation von $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ werden die ersten 8 Glieder der Rehe $\begin{eqnarray*} 4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\cdot\left( \frac{1}{5} \right)^{2k+1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,7 \end{eqnarray*}$ , berücksichtigt,
der Fehler ist also kleiner als der Betrag des nächsten Gliedes, also das für $\begin{eqnarray*} k=8 \end{eqnarray*}$ .

Genauso bei dem anderen Summanden.

15.04.2007, 12:45

Bridda

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ahh, alles klar smile

Danke, dass ich hier im Forum dumme Fragen stellen darf.

Danke, danke, jetzt habe ichs smile

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Fehlerberechnung mittels Leibnizkriterium

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