Determinanten

24.11.2004, 17:47

Svende

Determinanten

Hallo, habe hier ene Aufgabe, bei der ich irgendwie nicht weiterkomme.

Ich soll ein Beispiel für zwei quadratische Matrizen geben, so dass die Determinante A*B ungleich der determinanten B*A ist. Leider sind bei mir, egal, welche As oder Bs ich verwende A*B=B*A. Wo liegt der Trick???

Wär toll, wenn mir jemand helfen könnte.

24.11.2004, 18:00

klarsoweit

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RE: Determinanten
meines Wissens ist die Determinante von (A*B) immer gleich der Determinanten von (B*A)

24.11.2004, 18:08

Mazze

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Zitat:

meines Wissens ist die Determinante von (A*B) immer gleich der Determinanten von (B*A)

ist es auch, folgt unmittelbar aus dem Determinantenmultiplikationssatz

det(A*B) = det(A)*det(B)

die Multiplikation von 2 reellen Zahlen ist Kommutativ das heißt

det(A*B) = det(A)*det(B) = det(B)*det(A) = det(B*A)

fertig. Es wird Dir also schwer fallen ein Beispiel zu finden, da es nicht existiert.

24.11.2004, 18:55

Svende

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Okay, danke, dann werde ich als Anrwort einfach eine allgemeine Begründung geben, dass det(A*B) immer= det (B*A) ist. Ist ja auch irgendwie logisch. Aber trotzdem Danke!!!

25.11.2004, 07:26

Raumpfleger

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Hallo Svende,

wg. der vorangegangenen Argumentation kann das nur über einem Schiefkörper funktionieren, der bekannteste ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{H} \end{eqnarray*}$ , der Körper der Quaternionen, wenn also die Matrixelemente etwa Quaternionen sind, und beide Determinanten nicht gerade aus Unterkörpern von $\begin{eqnarray*} \mathbb{H} \end{eqnarray*}$ wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ kommen, dann ist es möglich.

Nur zum Sagen, Quaternionen sind hyperkomplexe Zahlen, es gibt 3 paarweise verschiedene imaginäre Einheiten (i, j, k; mit einer Multiplikationstabelle) und die übliche 1, ein Quaternion q sieht also so aus: $\begin{eqnarray*} q = c_{0} 1 + c_{1} i + c_{2} j + c_3{k} \end{eqnarray*}$ .

25.11.2004, 10:12

Svende

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Könntest du das vielleicht anhand eines Beispiels nochmal erklären? So ganz habe ichs nicht gerafft. Das bedeutet also auch, dass für oben genannte Aufgabe eine Lösung finden kann?

25.11.2004, 10:30

JochenX

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auch wenn ich mich mit den quaternionen übehaupt nicht auskenne, kann ich dir das ganze so erklären 8allein mit dem wissen, was ein schiefkörper ist):

Zitat:

det(A*B) = det(A)*det(B) = det(B)*det(A) = det(B*A)

weil eben die multiplikation in einem körper kommutativ ist.
deshalb ist der vorschlag, die matrix über einem schiefkörper aufzubauen, bei dem eben keine kommutativität der multiplikation vorausgesetzt ist.
damit könntest du den determinantenmultiplikationssatz umgehen, denn der gilt eben nur, wenn die matrix über einem körper aufgebaut ist.

hoffe, das hat zu deinem verständnis beigetragen, mfg jochen

25.11.2004, 10:34

Raumpfleger

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Hallo Svende,

also sei $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{H} \end{eqnarray*}$ ein Quaternion mit
$\begin{eqnarray*} q = c_{0} 1+ c_{1} i + c_{2} j + c_{3} k, c_{i} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die Multiplikationstabelle der hyperkomplexen Einheiten ist definitionsgemäss:

$\begin{eqnarray*} i^2 = j^2 = k^2 = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j \end{eqnarray*}$

Damit siehst Du schon, worauf es hinausläuft, betrachte die Matrizen

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 + i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 1 + j & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

det(A) = 1 + i, det(B) = 1 + j,

det(A) det(B) = (1 + i)(1 + j) = 1 + j + i + i j = 1 + i + j + k
det(B) det(A) = (1 + j)(1 + i) = 1 + i + j + j i = 1 + i + j - k

damit ist die Ungleichheit hergestellt, noch einfacher im Raum der 1 x 1 Matrizen über $\begin{eqnarray*} \mathbb{H} \end{eqnarray*}$ , das ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{H} \end{eqnarray*}$ selber, weil eben wg. der Multiplikationstabelle der hyperkomplexen Einheiten die Multiplikation der Quaternionen im allgemeinen nichtkommutativ ist.

25.11.2004, 10:37

Svende

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Hört sich zwar sehr logisch an, nur weiß ich leider kein bisschen, wie man eine Matrix über einem Schiefkörper aufbaut. Hatten wir glaube ich zumindest noch nicht. Beispiel???? Hilfe

25.11.2004, 10:43

Svende

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Okay, kapiert, nur haben wir etwas in dieser Richtung noch nicht gemacht, ob ichs trotzdem so beantworten kann?
Gibt es andere Ringe, Körper,... wo der Determinantenmultiplikationssatz auch nicht gilt, die ich im ersten Semester kennen könnte?

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