Funktion gesucht!

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Gust Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion gesucht!
Ich weiß jetzt nicht, ob das zu Rätsel oder zur Linearen Algebra gehört; ich tus jetzt mal da rein!

Wir hatten in der letzten Mathestunde eine Aufgabe, die man schwer (3/4Stunde bis 1Stunde) oder leicht (ca 5 - 10 Minuten rechnen kann);
außerdem bin ich offen für neue Lösungswege!

Gesucht ist eine Funktion möglichst niedrigen Grades mit den Punkten

(0|1)(1|1)(2|2)(3|1)(4|1)


- außerdem erkläre ich gerne die einfache Lösung, weil die einfach klasse ist, aber vorher lasse ich euch noch ein bisschen Raten/Überlegen/Rechnen Zunge
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion gesucht!
also für mich ist das ne matheaufgabe Buschmann Augenzwinkern

ich verschiebs also in die lineare algebra, nicht zuletzt weil es eh schon zuviele ungelöste Rätsel hier gibt da brauch ich nicht noch eins das hier net eigentlich reingehört

Augenzwinkern
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist erst einmal eine stinknormale Steckbriefaufgabe aus der Analysis.
Der "Sonderweg" widerum könnte durchaus als Rätsel gelten.

Es soll wohl "ganzrationale" Funktionen heissen - oder etwa nicht?
Wer nen Tip will, ich hab bei mir auf der HP Hilfreiches - aber vielleicht gibt es ja NOCH was Eleganteres?
smile
gruss Johko
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auf die Schnelle eine Funktion. Zwar unstetig, aber ganzrational und 0.Grades.:

f(x)= {1 für x!=2, 2 für x=2 Augenzwinkern

EDIT:

Man kann sie z.B. auch eleganter, durch die Stufenfunktion ausdrücken
f(x)=2-(sigma(x-2)^2).

dabei gilt: Stufenfunktion: sigma(x) = {1 für x>0, 0 für x=0, -1 für x<0.
Quadriert dann sigma(x)^2 = {1 für x != 0, 0 für x=0.
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

8) cool!

- ähm, leider versteh ich nicht so wirklich was von dem, was du da geschriebenhast verwirrt !
- wäre es möglich, das nochmal genauer mit der Stufenfunktion zu erklären?
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

'Tschuldigung. Das ist kein echter Name, sondern mehr eine Umgangsprachliche Bezeichnung.

Es gibt die sog. Sprung- oder Heaviside-Funktion. Diese ist einfach definiert als f(x) = 1 für x>=0 und 0 für x<0. (Bild im Anhang Augenzwinkern ). Bildet man nun s(x)=f(x)-(f(-x) hat man eine Funktion die auf der negativen x-Achse immer -1, auf der positiven immer 1 und bei x=0 0 ist. Die sieht dann so aus wie eine Treppenstufe, daher der Name.. Manchmal nennt man auch die Heaviside-Funktion so, deshalb besteht Verwechslungsgefahr..
 
 
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

noch ein Bild, zur Veranschaulichung (Heaviside(x)-Heaviside(-x)):
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch eine Anwendung: Motor ohne Kupplung
Früher hatten die Walzen auf den Tennisplätzen sowas. Wenn du da vom Vorwärts- zu schnell in den Rückwärtsgang geschaltet hast, gabs Derbes auf die Beckenknochen. Augenzwinkern
Die treppenfunktion eignet sich z.B. für Telefontarife.
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

@gust: wie sieht denn jetzt deine Lösung aus (hoffentlich mit einer normalen Funktion.)?
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, mit einer normalen Funktion:

also:

nochmal die Punkte:
(0|1) ; (1|1) ; (2|2) ; (3|1) ; (4|1)

Vier davon liegen ja offensichtlich auf y=1.
Lassen wir mal den (2|2) außer acht, dann kann man ja die Funktion der restlichen Punkte runtersetzen und die Punkte als Nullstellen sehen:

f(x-1)= x * (x-1) * (x-3) * (x-4)

--> f(x) = x * (x-1) * (x-3) * (x-4) + 1

Desweiteren wissen wir:
f(2) = 2

und wenn man x * (x-1) * (x-3) * (x-4) + 1 mit c multipliziert, dann ändert das an den Nullstellen nichts.

folglich kann man sagen:

f(2) =

2 = c * ^2 * (2-1) * (2-3) * (2-4) + 1;

2 = 4c+1

c = 1/4


--> f(x) = 1/4 * x * (x-1) * (x-3) * (x-4) + 1

- und das haut hin!

Ich weiß nicht, was ihr zu der Lösungsidee sagt, ich jedenfalls finde sie klasse - da muss man erstmal drauf kommen :P
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

ich finde die idee sehr interessant... :]
ich hab die funktion nochmal in die normalformumgerechnet:
f(x)=(x^4-8x³+19x²-12x+4)/4
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs mir jetzt nochmal zeichnen lassen (comp), und es haut alles hin!

Bei allen herausgebracheten Funktionen liegen die Punkte drauf Tanzen

- auch wenn nicht ganz das rausgekommen ist, was ich mir anfangs vorgestellt hatte verwirrt , naja, errare humanum est!
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Version:
1) Verschiebe die Funktion f um eine Einheit nach unten und um zwei Einheiten nach links, und du erhältst g(x) mit den Punkten (-2/0); (-1/0); (0/1) traurig 1/0); (2/0)
2) Diskutiere g(x) und fordere dabei Achsensymmetrie.
3) Stelle f(x) aus g(x) durch Rückverschiebung wieder her
f(x) = g(x-2) +1

Achsensymmetrie --> NUR gerade Potenzen --> g(x) = a*x^4+^c*x^2+e
f(0) = 1 --> e=1
f(1) = 0 --> a+c+1=0 --> a= -c-1
f(2) = 0 --> 16a+4c+1=0 --> -16c-16+4c+1=0 --> -15 = 12c -->c=-5/4
--> a= -(-5/4)-1 =1/4
--> g(x) = (1/4)*x^4-(5/4)*x^2 +1
-->f(x) =(1/4)*(x-2)^4-(5/4)*(x-2)^2 +1+1
Fürs ausmultiplizieren hab ich keine Lust mehr.smile
johko
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Auch ne gute Ídee! Und ausmultiplizieren musst du es auch nicht mehr, da das mit meinem Ergebnis übereinstimmt, das alpha ja schon ausgerechnet hat.
- da fällt mir eine Frage ein, die aber ein neues Thema sein soll!
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