Determinantenaufgabe

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24.11.2004, 19:20	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinantenaufgabe Noch eine Frage, kann mir jemand sagen, ob das hier stimmt?? Also, folgende Aufgabe: Ein Beispiel für eine quadratische Matrix A, deren Einträge alle ungleich 0 sind, für die det(A hoch 100)= det(A) ist. Meine Idee wäre A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann wäre nmlich A hoch 100 auch A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , oder??? Demzufolge wären dann auch die Determinanten dieselben.
24.11.2004, 19:24	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
rechne doch mal A² aus.... mfg jochen
24.11.2004, 19:27	thonie	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} ^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit stimmt deine Überlegung leider nicht mit der Matrizenmultiplikation Allerdings gilt meiner Meinung nach dennoch: $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = det\left({\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} ^ {100}\right) \end{eqnarray*}$
24.11.2004, 20:27	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
der Determinantenmultiplikationssatz sagt det(AB) = det(A)det(B) also auch $\begin{eqnarray} det(A_1A_2 ... A_n) = det(A_1)det(A_2)...det(A_n) \end{eqnarray}$ Wie Du weißt hat die Matrix mit allen Einträgen = 1 die Determinante 0. Damit hat jede Potenz der Matrix mit sich selber die Determinante 0. Damit gilt $\begin{eqnarray} det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} det(A^{100}) = 0 \end{eqnarray}$ Du hast also ein richtiges Beispiel gewählt.
24.11.2004, 20:27	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig, die frage ist nur: wieso?! und das ist jetzt mal an svende, das herauszufinden. tip: determinantenmultiplikationssatz! danach findet man noch viele weitere (sogar andersartige) lösungen... mfg jochen edit: jetzt hat ja mazze schon alles verraten. wie langweilig dann will ich noch anmerken, dass auch matrizen mit determinante 1 das ganze lösen; leider ist 100 gerade ansonsten ginge auch noch determinante -1....
24.11.2004, 20:38	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs eigentlich nur gemacht wiel ich schätze das sie den Determinantenmultiplikatonssatz noch nicht kennt (kennen darf) und ihr das so eh weniger nützt. Eher nur gemacht um aufzuzeigen das es stimmt.
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24.11.2004, 21:41	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, bitte nicht streiten ... Das mit der Matrizenmultiplikation war wirklich etwas dämlich von mir... Verstanden habe ich, dass wohl, dass det(A)=det(Ahoch100) immer gilt, wenn die Einträge von A alle gleich sind, also, auch zum Beispiel: 5 5 5 5 , da dann bei der Multiplikation mit sich sebst immer eine Matrix entsteht, bei der auch wieder alle Einträge gleich sind, so dass die Determinanten von A sowohl wie ach von A hoch Hundert immer 0 ist. Meiner Meinung nach gilt auch, dass det(A)= det (Ahoch 100) für alle Matrizen, diejeweils in ihren Zeilen oder Spalten die gleichen Einträge haben: Bsp.: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In diesem Fall wäre egal, wie oft man die Matrix mit sich selbst multipliziert, die Determinante wäre immer 0. Oder? Gibt es auch eine Möglichkeit, dass die Determinante nicht 0 ist??Und wenn ja, gibt es einen einigermaßen direkten Weg,ohne das durchzuprobieren? DANKE, DANKE!
24.11.2004, 22:01	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
naja wie oben erwähnt geht auch determinante =1; aber auch das läuft über den determinantenmultiplikationssatz. wie du anhand von diesem feststellen wirst gibt es aber keine anderen determinanten, für die das zutreffen kann (-1 in geeigneten fällen)..... mfg jochen ps: das ist hier doch kein streit, frieden für alle
24.11.2004, 22:09	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, und wo wir gerade mal dabei sind... Hätte da noch ne Frage, kann man in Matrizen Beträge schreiebn. Meine Aufgabe und Idee dazu ist: Ich soll eine 2x2 Matrix finden, bei der A ungleich 0 und A= der Adjunkten von A ist. Um das herauszufinden, habe ich zunächst Variable in ein Matrix gesetzt: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist die Adjunkte zu A: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wenn nun A= A hoch Ad sein soll, schlussfolgere ich, dass a=d sein müsste und eben auch -b=b und -c=c. Und dies ist für mich nur möglich, wenn ich A folgendernaßen wähle: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & \|b\| \\ \|c\| & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Geht das denn und macht das überhaupt Sinn?
24.11.2004, 22:37	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wo kommen die minuszeichen her?! mfg jochen
25.11.2004, 10:25	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, aus meinen Skripten entnehme ich, dass ich um die Adjunkte zu berechnen det(A11), det(A12),det(A21), det(22 berechnen muss und diese dann die Adjunkte geben. Wir haben daza folgende Formel: $\begin{eqnarray} A^Ad \end{eqnarray}$ = (a'ij) mit a'ij= $\begin{eqnarray} (-1)^i+j \end{eqnarray}$ det Aji (Das d am Anfang und das + j gehört natürlich auch nach oben). Daraus folgt, dass der Eintarg an der STelle i,j der Adjunkten (-1) hoch i+j det(Aji) ist. Da -1 hoch einer gerade Zahl, also i+j eine gerade Zahl positiv wird, bei i+j ungerade aber negativ bleibt, sind bei mir in der Adjunkten matrix die Stellen 1,2 und 2,1 negativ. Wenn das natürlich nicht immer gilt (????warum sollte es), wäre die Lösung sehr simpel. Oder habe ich irgendwo was falsch verstanden.
25.11.2004, 12:56	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
nein entschuldigung, das was du geschrieben hast war richtig..... ich hatte es falsch im kopf.... aber da A ja nur ungleich der Nullmatrix sein soll, kannst du ja trotzdem einzelne einträge 0 wählen... und dann ist es ja ganz einfach.... mfg jochen
25.11.2004, 13:35	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, da hab ich wohl nicht genau gelesen...Dachte, alle Einträge von A müssten ungleich 0 sein. Mein Vorschlag also: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist A hoch Ad identisch A.
25.11.2004, 20:54	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
steht A hoch Ad für die adjunkte? wenn ja, siehts gut aus.... mfg jochen und tip von mir: genau lesen, da führt nichts dran vorbei....
25.11.2004, 21:55	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ja, weiß ich ja!!!Das mit dem genauen lesen, aber jeder ist wohl irgendwann mal ein ganz klein bisschen unkonzentriert, oder?? Aber trotzdem danke...
26.11.2004, 09:52	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
natürlich ist das jeder mal, verstehe das bitte nicht als vorwurf...... so war das echt nicht gemeint... es war nur als gutgemeinter ratschlag gedacht, das ist nämlich ein problem, das viele regelmäßig haben..... mir ist das selbst auch schon ab und an passiert und ich weiß, dass man sich da dann ziemlich schwertun kann..... mfg jochen
26.11.2004, 11:05	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hab ich auch nicht anders verstanden!!

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