Holomorphie und so ;)

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14.04.2007, 17:48

Seb17

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Holomorphie und so ;)

Hallo zusammen Augenzwinkern

Bräuchte eventuell noch kurze Tipps zur folgenden Aufgabe ...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mbox{Sei }M=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\in GL(2\times2;\ \mathbb{C})\mbox{ (Menge der invertierbaren (2 x 2)-Matrizen) mit }c\neq 0. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{ Damit definieren wir die Abbildung }f_M:\mathbb{C}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}\to\mathbb{C}\setminus\left\{\frac{a}{c}\right\},\ z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{(a) Zeigen Sie, dass }f_M\mbox{ biholomorph ist und berechnen Sie die Umkehrabbildung.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{(b) Wie ist }f_M\mbox{ im Fall }c=0\mbox{ zu definieren? Zeigen Sie, dass }f_M\mbox{ auch in diesem Fall biholomorph ist.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{(c) Wie lässt sich für }M,N\in GL(2\times2;\ \mathbb{C})\mbox{ die Komposition }f_M\circ f_N\mbox{ berechnen?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{ Also, meine erste Frage wäre: Lässt sich die Abbildung $f_M$ auch mit der 2x2-Matrix $M$ schreiben?} \end{eqnarray*}$

Zu (a):

$\begin{eqnarray*} \mbox{Biholomorphie bedeutet ja, dass $f$ bijektiv, also injektiv und surjektiv, sein muss und f holomorph,} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mbox{sprich komplex differenzierbar sein muss für alle $z\in\mathbb{C}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}$, wobei $f'(z)\neq 0$ sein muss, richtig?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{Die Injektivität lässt sich ja simpel über den Ansatz $f(z)=f(z')\Rightarrow z=z'$ zeigen,} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mbox{wie gehe ich am besten bei der Surjektivität vor?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{ Klappt's vielleicht so?: Zu $w\in\mathbb{C}\setminus\left\{\frac{a}{c}\right\}$ definiert man $z:=\frac{b-wd}{wc-a}$. Nur wie zeige ich, dass $z:=\frac{b-wd}{wc-a}\in\mathbb{C}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}?$} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{$f'(z)\neq 0$ muss gelten, da $f'(z)=ad-bc=\det(M)\neq 0$ wg. der Zugehörigkeit von $M$ zur Gruppe der invert. Matrizen.} \end{eqnarray*}$

Hoffe, Letzteres stimmt soweit Augenzwinkern

Zu (b):

Hier hätte ich ja einfach:

$\begin{eqnarray*} f_M(z)=\frac{az+b}{d}\mbox{ mit } d\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zu (c): Hier habe ich gar keine Ahnung.

Über Hilfestellungen bzw. Korrekturen meiner bisherigen Ansätze wäre ich sehr dankbar.

MfG Seb17

14.04.2007, 20:08

Frooke

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RE: Holomorphie und so ;)
Vermutlich missverstehe ich Deine eine Frage, aber

$\begin{eqnarray*} \mbox{ Also, meine erste Frage wäre: Lässt sich die Abbildung $f_M$ auch mit der 2x2-Matrix $M$ schreiben?} \end{eqnarray*}$

Ja, Du hast die Matrix ja gegeben:

$\begin{eqnarray*} f_M:\mathbb{C}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}\to\mathbb{C}\setminus\left\{\frac{a}{c}\right\},\ z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}. \end{eqnarray*}$

Also auch

$\begin{eqnarray*} z\mapsto\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z \\ 1\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Allgemein: Betrachte auch mal diesen Link...

Und für c) Wenn Du weisst, dass GL(2x2) eine Gruppe ist, so kannst du das mit Matrizenmultiplikation machen... (Hast Du N näher gegeben)?

14.04.2007, 21:05

Seb17

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Erstmal vielen Dank für Deine Antwort ...

Auf die Schreibweise

$\begin{eqnarray*} z\mapsto\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}z \\ 1\end{pmatrix}\mbox{ bin ich auch schon gekommen, aber da fehlt doch die Division oder, sprich} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}z \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}az+b\\cz+d\end{pmatrix}\neq\frac{az+b}{cz+d}. \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich da etwas falsch?!? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \mbox{Zu (c): Nein, das $N$ ist nicht näher gegeben.} \end{eqnarray*}$

MfG Seb17

15.04.2007, 11:23

Frooke

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Huch natürlich... Sorry, da fehlt echt die Division... Nun, dann musst Du's wohl als Verkettung auffassen...Hier

Dann verstehe ich c entweder falsch oder die Antwort lautet schlicht Matrizenmultiplikation...

15.04.2007, 11:57

Leopold

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Man kann das verschieden deuten. Wenn man ein Objekt $\begin{eqnarray*} \infty \not \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ einführt und zusätzlich $\begin{eqnarray*} f_M \left( - \frac{d}{c} \right) = \infty \end{eqnarray*}$ setzt,
falls $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, sowie $\begin{eqnarray*} f_M \left( \infty \right) = \infty \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man das Ganze als Operation

der Gruppe

$\begin{eqnarray*} G = \operatorname{GL}(2,\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$

auf der Menge

$\begin{eqnarray*} \mathbb{C}_{\infty} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$

gemäß der Vorschrift

$\begin{eqnarray*} (M,z) \mapsto Mz = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} z = \frac{az+b}{cz+d} \end{eqnarray*}$

deuten, mit den eingangs gemachten Zusätzen bzgl. $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (siehe hier). Die Multiplikation ist hier also nicht die Matrizenmultiplikation!

Ebensogut könnte man sagen: Die Abbildung

$\begin{eqnarray*} M \mapsto f_M \end{eqnarray*}$

ist ein Epimorphismus von der Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auf die Gruppe der Abbildungen $\begin{eqnarray*} f_M \end{eqnarray*}$ (der sogenannten Möbiustransformationen, siehe Frookes Link).

Beides ist letztlich Ausdruck der Tatsache, daß dem Matrizenprodukt $\begin{eqnarray*} M \cdot N \end{eqnarray*}$ die Komposition der Abbildungen $\begin{eqnarray*} f_M \circ f_N \end{eqnarray*}$ entspricht. Und um den Nachweis dieser Beziehung geht es bei c). Das hat ja Frooke schon bemerkt.

@ Frooke
Du bist auf der richtigen Spur und hast für dich den Begriff "Operation einer Gruppe auf einer Menge" entdeckt, ohne davon zu wissen (was zu deinen Gewissensbissen bezüglich der Division geführt hat). Freude

15.04.2007, 12:42

Seb17

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Puh, da steckt aber dann schon 'ne Menge Algebra dahinter Augenzwinkern

Aber ich kann doch auch die Biholomorphie bei Teil (a) nachweisen, OHNE die Matrix M zu verwenden in der Abbildung oder, indem ich einfach die Abbildung (wie in der Aufgabenstellung vorgegeben)

$\begin{eqnarray*} f_M:\mathbb{C}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}\to\mathbb{C}\setminus\left\{\frac{a}{c}\right\},\ z\mapsto\frac{az+b}{bz+d} \end{eqnarray*}$

auf Bijektivität untersuche und für diese Abbildung die Holomorphie, also die komplexe Diff'barkeit, nachweise oder nicht?

Da ich angehender Lehrer bin, habe ich Algebra jetzt noch nicht gehört, sodass ich mich ziemlich einarbeiten müsste in die Theorie der Gruppen usw.

Wäre (c) auch ohne Deine Annahmen lösbar, Leopold?

Vielen Dank Augenzwinkern

Seb17

15.04.2007, 12:52

Seb17

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Ich nochmal, die Frage ist auch, ob ich

$\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\cup\infty \end{eqnarray*}$

überhaupt verwenden darf, da wir die Möbiustransformation NICHT in der Vorlesung behandelt haben ...

Hmm ..., wenn die Aufgabe ohne diesen Ansatz lösbar ist, ist's bestimmt so gemeint, sonst müssen wir wohl dadurch Augenzwinkern

Über weitere Antworten zu den obigen Fragen/Punkten wäre ich natürlich dankbar.

VG Seb17

15.04.2007, 13:31

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Beides ist letztlich Ausdruck der Tatsache, daß dem Matrizenprodukt $\begin{eqnarray*} M \cdot N \end{eqnarray*}$ die Komposition der Abbildungen $\begin{eqnarray*} f_M \circ f_N \end{eqnarray*}$ entspricht.

Rechne also nach, daß

$\begin{eqnarray*} \left( f_M \circ f_N \right)(z) = f_M \left( f_N(z) \right) \end{eqnarray*}$

dasselbe wie

$\begin{eqnarray*} f_{MN}(z) \end{eqnarray*}$

ist. Dann hast du die Aufgabe gelöst. Und wenn du das hast, kannst du die Aussage kurz in der Form

$\begin{eqnarray*} f_M \circ f_N = f_{MN} \end{eqnarray*}$

zusammenfassen. (Nun ja, die Definitionslücken der Abbildungen $\begin{eqnarray*} f_M \end{eqnarray*}$ machen da noch Probleme. Wenn du das auch noch sauber aufschreiben willst, wirst du wohl eine Menge Fallunterscheidungen treffen müssen. Laß das erst einmal weg.)

16.04.2007, 15:50

Seb17

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Okay, soweit einverstanden; wie geh' ich aber jetzt am besten mit der Surjektivität vor?

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Holomorphie und so ;)

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