Uneigentliches Integral

24.11.2004, 21:40

Helpless

Uneigentliches Integral

Wie berechne ich denn den Wert von folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{\log(1+x^2)}{1+x^2}dx \end{eqnarray*}$

24.11.2004, 22:05

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Helpless
Wie berechne ich denn den Wert von folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{\log(1+x^2)}{1+x^2}dx \end{eqnarray*}$

Ich würde es mal mit den Residuen probieren.

24.11.2004, 22:19

Helpless

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich würde es mal mit den Residuen probieren.

Das macht sich bei ner Aufgabe zur Analysis nicht so gut. Es sollte auch mit den mitteln der elementaren reellen Analysis (glm. Konv., Stammfunktionen) möglich sein... verwirrt

25.11.2004, 00:14

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Helpless
Das macht sich bei ner Aufgabe zur Analysis nicht so gut. Es sollte auch mit den mitteln der elementaren reellen Analysis (glm. Konv., Stammfunktionen) möglich sein... verwirrt

Zumindest Mathematica findet keinen Stammfunktionsausdruck, der nur auf üblichen elementaren Funktionen basiert. Möglicherweise existiert doch solch ein Ausdruck - ich glaube allerdings nicht dran.

Wegen dieses Dilemmas kam ja mein Vorschlag mit den Residuen, weil das könnte wenigstens klappen.

Vielleicht hast du ja wenigstens andere bestimmte Integrale "anzubieten", auf die man sich nach Substitution bzw. partieller Integration beziehen könnte?

Übrigens: Mathematica ermittelt für das bestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \pi\ln 2 \end{eqnarray*}$

25.11.2004, 11:38

Calahan

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RE: Uneigentliches Integral
Den Nachweis der Existenz aller auftauchenden uneigentlichen Integrale führe ich nicht durch. Hier ist aber eine grobe Skizze für den Lösungsweg:

Durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \cosh t=\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t}\right) \end{eqnarray*}$ und anschließende Substitution mit $\begin{eqnarray*} t=\log x \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{dt}{\cosh t}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \cosh^2 t-\sinh^2 t = 1 \end{eqnarray*}$ und der Substitution $\begin{eqnarray*} x=\sinh t \end{eqnarray*}$ folgt weiter:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{\log(1+x^2)}{1+x^2}dx=2\int_0^\infty\frac{\log(\cosh t)}{\cosh t}dt \end{eqnarray*}$

Substitution mit $\begin{eqnarray*} x=e^t \end{eqnarray*}$ und anschließendes Beachten von $\begin{eqnarray*} \cosh t=\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t}\right) \end{eqnarray*}$ liefert:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{\log(x^2+1)}{x^2+1}dx=\underbrace{\int_0^\infty\frac{\log 2}{\cosh t}dt}_{=\frac{\pi}{2}\log 2}+\underbrace{\int_{-\infty}^\infty\frac{t}{2\cosh t}dt}_{=0}+\int_0^\infty\frac{\log(\cosh t)}{\cosh t}dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_0^\infty\frac{\log(\cosh t)}{\cosh t}dt=\frac{\pi}{2}\log 2\Rightarrow \int_0^\infty\frac{\log(x^2+1)}{x^2+1}dx=\pi\log 2 \end{eqnarray*}$

25.11.2004, 11:52

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Calahan
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\int_0^\infty\frac{\log 2}{\cosh t}dt}_{=\log2\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Also das ist mir nicht ganz klar, wie das über Stammfunktion gehen soll. Ich vermute mal, das ist aus irgendeiner Tabelle - und dort wurde es mit Hilfe des Residuensatzes ermittelt.

Siehe meine Bemerkung oben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Vielleicht hast du ja wenigstens andere bestimmte Integrale "anzubieten", auf die man sich nach Substitution bzw. partieller Integration beziehen könnte?

25.11.2004, 12:06

Calahan

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Calahan
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\int_0^\infty\frac{\log 2}{\cosh t}dt}_{=\log2\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Also das ist mir nicht ganz klar, wie das über Stammfunktion gehen soll. Ich vermute mal, das ist aus irgendeiner Tabelle - und dort wurde es mit Hilfe des Residuensatzes ermittelt.

Nö!

Mal 'unsauber' geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{dt}{\cosh t}=2\int_0^\infty \frac{e^t}{e^{2t}+1}dt=2\int_1^\infty \frac{dx}{x^2+1}=2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

25.11.2004, 13:27

Helpless

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RE: Uneigentliches Integral
Vielen Dank an alle aber mir scheint, dass ich auf die Punkte für diese Aufgabe verzichten werde. Das wird mir dann doch etwas zu aufwändig... Immerhin hab ich ansatzweise kapiert wie es gehen soll.

25.11.2004, 13:38

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Calahan
Nö!

Mal 'unsauber' geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{dt}{\cosh t}=2\int_0^\infty \frac{e^t}{e^{2t}+1}dt=2\int_1^\infty \frac{dx}{x^2+1}=2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Oh Danke, hast recht. Also über arctan(e^x).

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