Umbeschriebenes n-Eck

24.11.2004, 22:00

G.O. Meter

Umbeschriebenes n-Eck

Folgende Aussage ist zu beweisen und ich hab momentan keinen Plan:

Unter allen dem Einheitskreis umschriebenen n-Ecken zu gegebenen festen n>=3 hat das reguläre n-Eck den kleinsten Umfang und den kleinsten Flächeninhalt.

Thx schon mal...

24.11.2004, 22:02

Deakandy

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RE: Umbeschriebenes n-Eck
Das n-Eck soll außen rum beschrieben werden und dann größer sein
Erklär nochmal bitte smile

Also ich habe das nicht so ganz verstanden

24.11.2004, 22:10

G.O. Meter

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RE: Umbeschriebenes n-Eck

Zitat:

Original von Deakandy
Das n-Eck soll außen rum beschrieben werden und dann größer sein
Erklär nochmal bitte smile

Also ich habe das nicht so ganz verstanden

Das n-Eck wird dem Einheitskreis umbeschrieben, d.h.: Jede Kante tangiert den Einheitskreis. Das reguläre (alle Kanten sind gleich lang) hat von allen möglichen umbeschriebenen n-Ecken den kleinsten Umfang und Flächeninhalt.

In Teilaufgabe b.) soll übrigens die analoge Aussage für einbeschriebene (alle Ecken liegen auf dem Einheitskreis) n-Ecke gezeigt werden.

24.11.2004, 22:36

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RE: Umbeschriebenes n-Eck
Wegen 2F = r u mit r=1 (Einheitskreis) reicht es aus, eines der beiden Optimalitätsprobleme zu bearbeiten!

Nun ist

$\begin{eqnarray*} u = 2r\sum\limits_{k=1}^n \tan\varphi_k \end{eqnarray*}$

mit positiven Winkeln $\begin{eqnarray*} \varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n \end{eqnarray*}$ , deren Bogenmaß-Summe gleich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , also der Halbkreis, ist.
(Einfach mal aufmalen, bei mir existiert die Zeichnung nur im Kopf.)

Den Rest würde ich mit der JENSENschen Ungleichung für konvexe Funktionen ( $\begin{eqnarray*} \tan x \end{eqnarray*}$ ist im Intervall $\begin{eqnarray*} \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ konvex) erledigen, aber die ist vermutlich nicht geläufig, oder?

25.11.2004, 00:18

Leopold

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Die Überlegung von Arthur Dent läßt sich noch ein bißchen vereinfachen.

Man kann den Radius als $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ annehmen. Betrachten wir nun einen Bogen $\begin{eqnarray*} \widehat{AB} \end{eqnarray*}$ mit einem Mittelpunktswinkel $\begin{eqnarray*} 2 \delta < \pi \end{eqnarray*}$ und lassen wir einen weiteren Punkt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf dem Bogen variieren.
Zeichnet man dann die Tangenten in den Punkten $\begin{eqnarray*} A,B,X \end{eqnarray*}$ , so bestimmen diese die Tangentialstrecken $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ (jeweils zweimal); siehe Zeichnung. Bei welcher Lage von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist nun $\begin{eqnarray*} 2p+2q \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p+q \end{eqnarray*}$ , minimal?
Das läuft darauf hinaus, das Minimum der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(\varphi) = \tan{\varphi} + \tan{(\delta-\varphi)} \, , \ 0 < \varphi < \delta \end{eqnarray*}$

zu bestimmen, was nicht besonders schwer ist. (Und jeder erwartet zurecht, daß es in der Mitte liegt.)

Geht man nun von einem regelmäßigen dem Kreis umbeschriebenen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck aus, so wird, wenn man einen einzigen Berührpunkt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verschiebt, nach der obigen Überlegung der Umfang größer.

25.11.2004, 00:37

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Da will ich wenigstens noch meinen Gedankengang beenden:

JENSENsche Ungleichung in einfacher Form:

Voraussetzung: g(x) konvex im Intervall I; p_1, ..., p_n nichtnegativ mit p_1+...+p_n=1.

Dann gilt für alle x_1, ..., x_n aus I:

$\begin{eqnarray*} g\left(\sum\limits_{k=1}^n p_kx_k\right) \leq \sum\limits_{k=1}^n p_kg(x_k) \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} x_k=\varphi_k,\quad g(x)=\tan x,\quad I=\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\quad p_1=\ldots =p_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , fertig.

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