zyklische Gruppe der Ordnung n

15.04.2007, 10:33

sinusHyperbolicus

zyklische Gruppe der Ordnung n

Hallo!
Ich hab eine Frage zu einer Aufabe, de ich bereits gelöst habe.

Die Aufgabe lautet:
Gib ein Beispiel für zyklische Gruppen der Ordnung n an.

Ein Beispiel dafür ist nicht schwer zu finden.
Meine Lösung: (Zn,+), da bin ich mir auch sicher, dass es simmt.

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Meine Frage:

Es müssten sicher auch noch weitere Beispiele existieren, glaub ich zumindest und mich würde interessieren, welche weiteren Beispiele es dafür gibt.

Mir fällt kein weiteres mehr ein, euch vielleicht?

Lg sinusHyperbolicus

15.04.2007, 11:34

Leopold

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RE: zyklische Gruppe der Ordnung n

Zitat:

Original von sinusHyperbolicus
Meine Frage:

Es müssten sicher auch noch weitere Beispiele existieren, glaub ich zumindest und mich würde interessieren, welche weiteren Beispiele es dafür gibt.

Mir fällt kein weiteres mehr ein, euch vielleicht?

Die klare Antwort ist JEIN. Ich weiß nicht, ob du den Isomorphiebegriff der Algebra kennst. In diesem Sinne gibt es nur eine einzige zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Allerdings gibt es davon unendlich viele Ausprägungen. Du mußt ja nur die Elemente und die Operation umbenennen, ohne die internen Beziehungen zu ändern.

Ein paar häufig anzutreffende Realisierungen (ich nehme zur Verdeutlichung die neutralen Elemente mit auf):

1.
die von dir genannte Gruppe $\begin{eqnarray*} \left( \, \mathbb{Z}_n \, , \, + \, , \, 0 \, \right) \end{eqnarray*}$

2.
Betrachte alle Lösungen der komplexen Gleichung $\begin{eqnarray*} z^n = 1 \end{eqnarray*}$ . Diese bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \left( \, \left\{ \, \operatorname{e}^{\frac{2 \pi \operatorname{i} k}{n}} \, \left| \, k=0,1,2,\ldots,n-1 \, \right. \right\} \, , \, \cdot \, , \, 1 \, \right) \end{eqnarray*}$

3.
Betrachte ein regelmäßiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck. Dieses kannst du um seien Mittelpunkt drehen. Bestimmte Drehungen liefern dieselbe Figur wie vor der Drehung (also nicht nur eine kongruente Figur - das tun alle Drehungen! - sondern wirklich dieselbe Lage in der Zeichenebene). Es sind die Drehungen $\begin{eqnarray*} \delta_k \end{eqnarray*}$ um den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi_k = k \cdot \frac{360^{\circ}}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k = 0,1,2,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist also

$\begin{eqnarray*} \left( \, \left\{ \, \delta_k \, \left| \, k=0,1,2,\ldots,n-1 \, \right. \right\} \, , \, \circ \, , \, \varepsilon \, \right) \end{eqnarray*}$

eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Der Kringel bezeichnet die Verkettung von Abbildungen, $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \delta_0 \end{eqnarray*}$ steht für die identische Abbildung.

Aus Sicht der Algebra ist das immer dieselbe Gruppe (Isomorphiebegriff). Für die Anwendung im konkreten Teilgebiet der Mathematik (bei 1. Zahlentheorie, bei 2. Lehre von den algebraischen Gleichungen, bei 3. Geometrie) mag die Art der Realisierung eine Rolle spielen.

15.04.2007, 12:30

sinusHyperbolicus

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RE: zyklische Gruppe der Ordnung n

Zitat:

Original von Leopold

2.
Betrachte alle Lösungen der komplexen Gleichung $\begin{eqnarray*} z^n = 1 \end{eqnarray*}$ . Diese bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \left( \, \left\{ \, \operatorname{e}^{\frac{2 \pi \operatorname{i} k}{n}} \, \left| \, k=0,1,2,\ldots,n-1 \, \right. \right\} \, , \, \cdot \, , \, 1 \, \right) \end{eqnarray*}$

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Danke für deine Antwort, und ja die Isomorphie ist mir bekannt.
Eins und drei sind für mich klar und nachvollziebar, nur 2. verstehe ich nicht.

15.04.2007, 12:35

sinusHyperbolicus

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PS:
A)

Gehe ich in der Annahme richtig,dass auch die Untergruppen von (Zn,+) zyklisch sind?

ZB: (Z4,+) dazu wären doch {0, 2} Untergruppen. ...diese sind doch auch wieder zyklisch oder täusch ich mich da?

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B) Wäre auch (Zn,*) auch eine Zyklische Gruppe?

15.04.2007, 13:56

Leopold

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A) Untergruppen zyklischer Gruppen sind wieder zyklisch, ja!

B) Das ist die Frage, was du mit $\begin{eqnarray*} \left( \mathbb{Z}_n \, , \, \cdot \, , \, 1 \, \right) \end{eqnarray*}$ meinst. Wenn du alle Elemente unter der Multiplikation betrachtest, ist das sicher keine Gruppe - die 0 stört! Aber auch wenn du die 0 wegläßt, ist das nur dann eine Gruppe, wenn $\begin{eqnarray*} n=p \end{eqnarray*}$ prim ist ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ ist ein Körper und nach einem nichttrivialen Satz ist dessen multiplikative Gruppe sogar zyklisch). Für nichtprimes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ enthält der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray*}$ Nullteiler. Wenn du alle diese Nullteiler wegläßt, dann bekommst du allerdings eine Gruppe, die sogenannte prime Restklassengruppe modulo $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Ihre Struktur aufzuklären, ist ein nicht ganz leichtes Problem der Zahlentheorie/Algebra.

15.04.2007, 16:23

sinusHyperbolicus

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Dankeschön, jetzt is mir alles klar!

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