Ziehen mit Zurücklegen

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Ziehen mit Zurücklegen
Seit Stunden versuche ich mich schon an der folgenden Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Kann mir vielleicht jemande helfen?

Viele Grüße
Lena

"
Aus einer Urne mit drei Kugeln werden 100 mal Kugeln mit Zurücklegen gezogen. DAbei kommen sowohl schwarze wie auch weiße Kugeln vor. Man soll entscheiden ob
a; 2 weiße und 1 schwarze
oder
b; 1 weiße und 2 schwarze

Kugeln in der Urne sind. Wie viele weiße Kugeln dürfen höchstens in der Ziehung sein, damit die Chance, dass Urne a; vorliegt höchstens 5/1000 sind?
Man nehme dazu an, dass vor der ersten Ziehung alle Urnenbelegungen gleichwahrscheinlich sind. "
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ziehen mit Zurücklegen
Sei X die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln.

Dann solltest du zunächst mal die Verteilung von X, d.h., die Wahrscheinlichkeiten P(X=k) sowohl für Urnenvariante a, als auch für Urnenvariante b ausrechnen - sozusagen bedingte Wahrscheinlichkeiten P(X=k | a) und P(X=k | b).

Ein zweiter Hinweis: Die 5/1000 kann man als posteriori-Wahrscheinlichkeit der Bayesschen Formel interpretieren...
ventuklotz Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

In Urne A beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, 2/3. Demnach wäre dann 2/3*n*w <= 5/1000. (n=100, w=Anzahl d. weißen Kugeln)

Lös das nach w auf, und Du hast die maximal erlaubte Anzahl.

edi/ @ 2: Urne 2 interessiert doch gar nicht. Man betrachtet doch nur Urne A und die damit zusammenhängenden Wahrscheinlichkeiten. smile Oder hab ich die Aufgabe falsch verstanden ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ventuklotz
Hi,

In Urne A beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, 2/3. Demnach wäre dann 2/3*n*w <= 5/1000. (n=100, w=Anzahl d. weißen Kugeln)

Lös das nach 2 auf, und Du hast die maximal erlaubte Anzahl.

edi/ @ 2: Urne 2 interessiert doch gar nicht. Man betrachtet doch nur Urne A und die damit zusammenhängenden Wahrscheinlichkeiten. smile Oder hab ich die Aufgabe falsch verstanden ?


So richtig durchgelesen hast du die Aufgabe wohl nicht, oder?
Rechne mal aus, was bei dir herauskommt!
ventuklotz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von ventuklotz
Hi,

In Urne A beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, 2/3. Demnach wäre dann 2/3*n*w <= 5/1000. (n=100, w=Anzahl d. weißen Kugeln)

Lös das nach 2 auf, und Du hast die maximal erlaubte Anzahl.

edi/ @ 2: Urne 2 interessiert doch gar nicht. Man betrachtet doch nur Urne A und die damit zusammenhängenden Wahrscheinlichkeiten. smile Oder hab ich die Aufgabe falsch verstanden ?


So richtig durchgelesen hast du die Aufgabe wohl nicht, oder?
Rechne mal aus, was bei dir herauskommt!


lol, hast Recht, sorry...muss natürlich (2/3)^n sein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ventuklotz
lol, hast Recht, sorry...muss natürlich (2/3)^n sein.


Rechne trotzdem mal dein w aus. Dann siehst du hoffentlich, wie absurd dieses "Ergebnis" ist.
 
 
ventuklotz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von ventuklotz
lol, hast Recht, sorry...muss natürlich (2/3)^n sein.


Rechne trotzdem mal dein w aus. Dann siehst du hoffentlich, wie absurd dieses "Ergebnis" ist.


es gibt kein w mehr! das ganze sieht so aus

(2/3)^n <= 5/1000

Ich denke nicht, dass das Ergebnis unwahrscheinlich ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ventuklotz
(2/3)^n <= 5/1000

Ich denke nicht, dass das Ergebnis unwahrscheinlich ist.


Bei dir würde also auch die Maximalzahl w=100 noch OK sein?


Dann werde ich es mal so formulieren:

Laut Aufgabenstellung wird VOR der Ziehung mit gleicher Wahrscheinlichkeit
(also 0.5) Urne a oder Urne b ausgewählt

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der ausgewählten Urne um a handelt,
wäre nach deiner Rechnung dann selbst bei 100 weißen gezogenen Kugeln kleiner oder gleich
0.005.

bzw. äquivalent:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der ausgewählten Urne um b handelt,
wäre nach deiner Rechnung bei 100 weißen gezogenen Kugeln größer oder gleích
0.995.

D.h.: Obwohl alle gezogenen Kugeln weiß sind, ist es für dich viel wahrscheinlicher,
dass die Ziehung mit der Urne stattfand, die WENIGER weiße Kugeln enthält???

------------------------------------------------
EDIT: Komplettlösung

Sei A das Ereignis, dass Urne a verwendet wird.
Dann ist A^c (Komplement) das Ereignis, dass Urne b verwendet wird.

Der letzte Satz der Aufgabenstellung bedeutet



Nun ergeben sich aus dem Sachverhalt "Ziehen mit Zurücklegen" die bedingten Verteilungen (mit n=100)

und


Nach Aufgabenstellung sind nun alle k gesucht, die die folgende Bedingung erfüllen



Nach der Bayesschen Formel ergibt sich somit



also und somit



Ergebnis: Die Maximalzahl der weißen Kugeln ist 46.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr alle,

vielen vielen Dank für eure Hilfe!!!

Ich bin inzwischen selbst zum Ergebnis gekommen und hab dank eurer Tipps auch 46 Kugeln raus bekommen.
Ich hoffe, ich kann mich hier im Board mal revanchieren.

Viele Grüße
Lena
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