Stammfunktion bei x^n * sin(pi*x)

15.04.2007, 12:55

e-Ric

Stammfunktion bei x^n * sin(pi*x)

Tag zusammen,
es geht um diese Aufgabe: http://www.reuter.fh-aachen.de/download/...ufgabe1_neu.pdf

Ich habe aber Probleme bei der Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} x^n * sin(pi*x) \end{eqnarray*}$ . Ich komme nicht auf den Trick, so dass ich mich nicht immer im Kreis drehe bei der partiellen Integration.

Bzw. wie kann ich zeigen, dass (1) und (2) gilt?

15.04.2007, 13:49

papahuhn

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RE: Stammfunktion bei x^n * sin(pi*x)
Maple sagt mir, dass du von der expliziten Darstellung des Integrals lieber die Finger lassen solltest.
Die drei Identitäten in der Aufgabenstellung ab dem Wort "mit" sind Definitionen, also brauchst du (2) gar nicht nachzuweisen, sondern darfst das voraussetzen.
Zeigen musst du die ersten beiden Gleichungen in (1).

Habt ihr vollständige Induktion gehabt?
Der Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} n \in \{0, 1\} \end{eqnarray*}$ lässt sich zeigen, indem du explizit $\begin{eqnarray*} I_0, I_1 \end{eqnarray*}$ ausrechnest.

Für den Induktionsschluss musst du bei $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ zweimal partiell integrieren, um danach die Voraussetzung anwenden zu dürfen. Damit kommt man fast auf die geforderte Gleichheit.
Statt $\begin{eqnarray*} \frac 1 \pi \end{eqnarray*}$ bekomme ich allerdings $\begin{eqnarray*} \frac{\frac n \pi x^{n-1}sin(\pi x) - x^n cos(\pi x) }{\pi} \end{eqnarray*}$ , was laut Maple für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gleich ist.

Edit: Ich fürchte, Maple hat in dem Fall Unsinn raus. Hmm...
Edit2: Jetzt hab ichs. Da soll nicht $\begin{eqnarray*} \frac n \pi x^{n-1}sin(\pi x) - x^n cos(\pi x) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \left[ \frac n \pi x^{n-1}sin(\pi x) - x^n cos(\pi x)\right ]^1_0 \end{eqnarray*}$ hin.

15.04.2007, 14:31

e-Ric

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Hm, danke erstmal für die Antwort.
Kannst du bei Maple auch die Schritte der partiellen Integration ausgeben lassen?

Wäre sehr nett, wenn du die noch posten könntest. Induktion haben wir gehabt. Allerdings ist mir noch nicht klar, was ich dann womit beweise in diesem Fall.

Gruß
Eric

15.04.2007, 14:36

papahuhn

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Zitat:

Original von e-Ric
Kannst du bei Maple auch die Schritte der partiellen Integration ausgeben lassen?

Das weiß ich nicht. Du willst aber $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x^{n-2} \end{eqnarray*}$ reduzieren. Da sollte es klar sein, welchen Faktor man differenziert bzw. integriert.

22.04.2007, 14:17

sanneac

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Hallo,

warum braucht man (2) gar nicht nachzuweisen und darf das voraussetzen?

22.04.2007, 14:27

Lazarus

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Betrachte die Gleichung $\begin{eqnarray*} I_n=\frac{\pi-n\left(n-1\right)}{\pi^2}\cdot I_{n-2} \end{eqnarray*}$ und löse nach $\begin{eqnarray*} I_{n-2} \end{eqnarray*}$ auf...

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