Grenzwert von Folgen

25.11.2004, 16:20

Jule84

Grenzwert von Folgen

Hallo!
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Vielleciht hat ja jemand einen Tipp für mich:

Beweisen Sie:
Aus a,n >0
und
lim n->unendlich a,(n+1)/a,n = L
folgt
lim n-> unendlich n-te Wurzel aus a,n =L

Das mit dem Komma soll heißen, dass die Zahl nach im Index steht.

Wäre sehr dankbar für nen Tipp.
Sorry, aber der Formeleditor funktioniert bei mir irgendwie nicht.

26.11.2004, 00:04

Calahan

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RE: Grenzwert von Folgen
Zum Beweis zeigst Du einerseits:

$\begin{eqnarray*} \limsup\sqrt[n]{a_n}\leq L \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} \liminf\sqrt[n]{a_n}\geq L \end{eqnarray*}$

Damit folgt dann die Behauptung.

Die Beweise laufen jeweils vollkommen analog.

$\begin{eqnarray*} \end{align*} Wähle $\alpha > L$. \begin{align*}\frac{a_{n+1}}{a_n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}L\Rightarrow \exists_{n_0\in \mathbb N} \forall_{n\geq n_0} \frac{a_{n+1}}{a_n}<\alpha\\ \Rightarrow a_{n_0+k}<a_{n_0}\alpha^k, (k\in\mathbb N) \\ \Rightarrow a_n<a_{n_0}\alpha^{-n_0}\alpha^n, (n\geq n_0)\end{align*} Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion folgt weiter \begin{align*}\sqrt[n]{a_n}<\alpha\underbrace{\sqrt[n]{a_{n_0}\alpha^{-n_0}}}_{\longrightarrow 1}\end{align*} Dies gilt für alle $\alpha > L$ und damit folgt: $\limsup\sqrt[n]{a_n}\leq L$.\begin{align*} \end{eqnarray*}$

Für den Beweis der zweiten Ungleichung wählst Du dann $\begin{eqnarray*} \beta< L \end{eqnarray*}$ ...

26.11.2004, 09:37

gast

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wenn n = nO ist (O soll index sein), dann stimmt der Beweis nicht.

26.11.2004, 09:52

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RE: Grenzwert von Folgen

Zitat:

Original von Calahan
Wähle $\begin{eqnarray*} \alpha \geq L. \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \beta\leq L \end{eqnarray*}$ ...

Sagen wir $\begin{eqnarray*} \alpha>L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta<L \end{eqnarray*}$ , und alles klappt wie beschrieben.

26.11.2004, 10:03

gast

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ok, dann stimmts

26.11.2004, 10:06

Gast_23

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Hallo,
kannst du den Beweis nochmal etwas ausführlicher hinschreiben, weil ich kann dem so nicht ganz folgen.

Gruß Thomas

26.11.2004, 14:49

Calahan

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Zitat:

Original von Gast_23
Hallo,
kannst du den Beweis nochmal etwas ausführlicher hinschreiben, weil ich kann dem so nicht ganz folgen.

Gruß Thomas

Soeben passiert.
Ich hab's oben editiert. Damit sollte dann alles klar sein - hoffe ich.

26.11.2004, 15:36

Mathespezialschüler

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@Calahan
Ich weiß ja nicht, inwieweit du schon informiert wurdest, aber bitte beachte doch das Prinzip des Boards.

Vielen Dank. smile

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