Lineare Abbildungen - Frage zur Aufgabenstellung

15.04.2007, 17:32

MasterZnake

Lineare Abbildungen - Frage zur Aufgabenstellung

So wir haben folgende Aufgabe gestellt bekommen:

http://img394.imageshack.us/img394/8029/namenlosbt6.png

Meint unser Prof. wirklich
$\begin{eqnarray*} f(x) \mapsto \int_{0}^{x}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$
und nicht
$\begin{eqnarray*} x \mapsto \int_{0}^{x}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$
was ja die Stammfunktion wäre?

15.04.2007, 18:06

tigerbine

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RE: Lineare Abbildungen - Frage zur Aufgabenstellung
Ich denke schon, dass er f(x) meint. Seid ihr doch im Vektorraum der Polynome, dessen Elemente Funktionen sind.

15.04.2007, 20:40

system-agent

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anders gesprochen, man nimmt eine funktion und weist dieser ihr integral von 0 bis x zu....

der nachweis der linearität
$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^x\alpha f(x)+\beta g(x)\dd x=\alpha\int\limits_0^x f(x)\dd x+\beta\int\limits_0^x g(x)\dd x \end{eqnarray*}$

dürfte nach der definition des integrals aus infini nicht schwer sein (bzw) ich würd einfach darauf verweisen...

15.04.2007, 22:08

MasterZnake

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Naja wenns richtig is wies da steht hab ich ein Problem beim Beweis der Homogenität:
Um ne lin. Abb. zu sein muss ja gelten:
$\begin{eqnarray*} a\cdot f(x) = f(ax) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{ax}~f(t)~dt =a(\int_{0}^{x}~f(t)~dt) \end{eqnarray*}$
Was meines Erachtens nach inkorrekt ist:
Denn (als Beispiel) unter einer Stadartparabel habe ich bis zum Punkt x einen gewissen Flächeninhalt.
Wenn ich diesen Flächeninhalt nun mit einer Konstanten a multipliziere entspricht das niemals dem Flächeninhalt unter einer Standartparabel bis zum Punkt ax.
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{ax}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a = 3,~x = 4,~f(t) = t^2 \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{12}~t^2~dt = \frac{1}{3}12^3 = 576 \end{eqnarray*}$
aber:
$\begin{eqnarray*} 3(\int_{0}^{4}~t^2~dt) = 64 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 64 \neq 576 \end{eqnarray*}$
Was mir aber aufgefallen ist:
$\begin{eqnarray*} 3(\int_{0}^{4}~(t\cdot 3)^2~dt) = 3(3\cdot 4^3) =192\cdot 3 = 576 \end{eqnarray*}$

So scheint es ja homogen zu sein, nur is mir der Zusammenhang mit der Aufgabenstellung nicht klar...
Wenn mir das jemand erklären könnte, würd ichs bestimmt schaffen zumindest Die Homogenität zu zeigen!

15.04.2007, 22:12

system-agent

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du sollst nicht das "x" mit der konstanten multiplizieren.
die definition ist $\begin{eqnarray*} f(\alpha v)=\alpha f(v) \end{eqnarray*}$ , und jetzt kommts wichtige: $\begin{eqnarray*} \forall\alpha\in\mathbb{K},\forall v\in\mathbb{V} \end{eqnarray*}$

dein vektorraum ist hier aber der aller polynome, das heisst das polynom musst du mit der körperkonstanten multiplizieren, dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anwenden. schau mein post oben

15.04.2007, 22:18

MasterZnake

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Zitat:

Original von system-agent
du sollst nicht das "x" mit der konstanten multiplizieren.
die definition ist $\begin{eqnarray*} f(\alpha v)=\alpha f(v) \end{eqnarray*}$ , und jetzt kommts wichtige: $\begin{eqnarray*} \forall\alpha\in\mathbb{K},\forall v\in\mathbb{V} \end{eqnarray*}$

dein vektorraum ist hier aber der aller polynome, das heisst das polynom musst du mit der körperkonstanten multiplizieren, dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anwenden. schau mein post oben

ganz ehrlich, ich blicks nich^^

und deinen post oben versteh ich auch nur halb...
und ich würde lieber
die Homogenität und die Additivität voneinander getrennt beweisen, weil sonst heisst es wieder "Nich so wie in der Vorlesung -> 0 Punkte"

15.04.2007, 22:20

tigerbine

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Du bringst das f der Defintion und das f der Aufgabe durcheinander! Deswegen heißt die Abbildung in deiner Aufgabe auch $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$

15.04.2007, 22:25

MasterZnake

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Jetz hab ichs glaub ich..
also wäre die abbildung die ich betrachte nicht $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sondern
$\begin{eqnarray*} \Phi(f(x)) \end{eqnarray*}$ ? und
$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist nur ein Element meines Vektorraumes, so wie bei "normalen" Funktionen
x eben jenes Element wäre...
Richtig?

Dann betrachte ich auch nicht
$\begin{eqnarray*} a\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ sondern viel eher
$\begin{eqnarray*} a\cdot \Phi(f(x)) ~~und~~ \Phi(a\cdot f(x)) \end{eqnarray*}$

das ergibt sinn Big Laugh

15.04.2007, 22:30

tigerbine

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Desch ischt doch mal a Ansatz Big Laugh

15.04.2007, 22:32

MasterZnake

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aber dann will ich ja im Endeffekt nur beweisen dass
$\begin{eqnarray*} a (\int_{0}^{x}~f(t)~dt) = \int_{0}^{x}~a\cdot f(t)~dt \end{eqnarray*}$
Und das is doch als trivial zu betrachen oder?^^

vielen dank an alle für die hilfe!

15.04.2007, 22:37

tigerbine

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Zitat:

Original von system-agent
anders gesprochen, man nimmt eine funktion und weist dieser ihr integral von 0 bis x zu....

der nachweis der linearität
$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^x\alpha f(x)+\beta g(x)\dd x=\alpha\int\limits_0^x f(x)\dd x+\beta\int\limits_0^x g(x)\dd x \end{eqnarray*}$

dürfte nach der definition des integrals aus infini nicht schwer sein (bzw) ich würd einfach darauf verweisen...

Was hatte er gesagt Augenzwinkern

15.04.2007, 22:52

MasterZnake

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hmm...
aber wie mache ich jez weiter?
Das Script der Vorlesung ist bestenfalls keine Hilfe und Wiki versteh ich nich^^

15.04.2007, 23:18

MasterZnake

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so ich hab mir jez überlegt
da $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ injektiv sein müsste (aufgrund der Eindeutigkeit der Ableitungen)
ist
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern}{(\Phi)} = \{0\} \end{eqnarray*}$
Die Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x]_{\leq n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ also:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Dim}{(\mathbb{R}[x]_{\leq n})} = n+1 = \operatorname{Rang}{(\Phi)} \end{eqnarray*}$
fehlt das Bild:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Dim}{(\mathbb{R}[x]_{\leq n})} - \operatorname{Dim}\operatorname{Kern}{(\Phi)} = \operatorname{Dim}\operatorname{Bild}{(\Phi)} = n \end{eqnarray*}$

ergibt das sinn?^^

---
sorry wegen doppelpost, aber da es sich um eine "neue erkenntnis" handelt fand ich es angebracht

16.04.2007, 09:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von MasterZnake
also wäre die abbildung die ich betrachte nicht $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sondern
$\begin{eqnarray*} \Phi(f(x)) \end{eqnarray*}$ ? und

Genau genommen betrachtest du die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ , mit der eine Funktion f auf die Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi(f) \end{eqnarray*}$ abgebildet wird. Dabei ist die Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi(f) \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} (\Phi(f))(x) = \int_{0}^{x}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Insofern halte ich die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(x) \mapsto \int_{0}^{x}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$ für ungenau, mißverständlich und formal falsch.
Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} f \mapsto \Phi(f) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\Phi(f))(x) := \int_{0}^{x}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MasterZnake
$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist nur ein Element meines Vektorraumes, so wie bei "normalen" Funktionen
x eben jenes Element wäre...
Richtig?

Unfug. Elemente des Vektorraumes sind Polynome vom Grad n, aber nicht irgendwelche Funktionswerte.

16.04.2007, 16:34

MasterZnake

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Zitat:

Original von klarsoweit
[...]

Zitat:

Original von MasterZnake
$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist nur ein Element meines Vektorraumes, so wie bei "normalen" Funktionen
x eben jenes Element wäre...
Richtig?

Unfug. Elemente des Vektorraumes sind Polynome vom Grad n, aber nicht irgendwelche Funktionswerte.

jo im grunde meinte ich das ja so, meine wortwahl war einfach nur schlecht^^

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