Grenzwert von Vektorfolge

15.04.2007, 17:40

Gela

Grenzwert von Vektorfolge

Hallo ihr lieben,
die Semferien sind vorbei, und es scheint als hätte ich alles vergessen geschockt

Ich hoffe ihr könnt mir helfen mein gedächtnis wieder aufzufrischen ...

Berechnen Sie den Grenzwert der Vektorfolge $\begin{eqnarray*} a_{n}=\begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n~\frac{2k}{\sqrt{n^4+n^2 k^2}} &, \int_{0}^{n}~\frac{e^x}{e^{2x} +1}~dx\end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$

Also klar ist das ich das komponentenweise berechnen muss.

Mein Problem ist das ich nicht mehr weis wie ich den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{2k}{\sqrt{n^4+n^2 k^2}} \end{eqnarray*}$ berechne verwirrt

Mein Lösungsansatz für die zweite Komponente:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{n}~\frac{e^x}{e^{2x}+1}~dx \Rightarrow e^x=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{n}~\frac{z}{z^2+1}\frac{1}{z}~dz =[ln\mid z^2+1 \mid \frac{1}{2z}]^n_{0} =[ln\mid e^{2x}+1 \mid \frac{1}{2e^x}]^n_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(ln\mid e^{2n}+1 \mid (\frac{1}{2e^n})-(\frac{1}{2} ln\mid 2 \mid ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (ln\mid e^{2n}+1 \mid (\frac{1}{2e^n})-(\frac{1}{2} ln\mid 2 \mid ) = - \frac{1}{2} ln\mid 2 \mid \end{eqnarray*}$
...ich hoffe mal das das wenigstens stimmt Augenzwinkern

edit: tippfehler korrigiert

15.04.2007, 19:27

integralschokolade

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Bei dem Grenzwert von der Integralsumme hast du einen Fehler
gemacht! Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{z^{2}+1} dz = arctan(z) \end{eqnarray*}$

Wenn nun z gegen unendlich strebt, erhälst du $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ !

Prüfe mal deine Stammfunktion durch Ableiten (Produktregel verwenden!); dann kommt nicht deine zu integrierende Funktion raus!

Zum Grenzwert mit der Summe: Klammere erst $\begin{eqnarray*} n^{4} \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel aus und dann setzst du mal den allerhöchsten Wert,
nämlich n, für k ein. Wenn du dann n gegen unendlich streben lässt, wird es null ergeben. Ebenso kannst du kleinere Werte als n für k
einsetzen und die werden bei Grenzübergang von n gegen unendlich
auch gleich null werden. Die Summe hat offensichtlich den Grenzwert 0.

15.04.2007, 19:34

Toxman

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Zitat:

Die Summe hat offensichtlich den Grenzwert 0.

Ich habe deine Argumentation nicht ganz verstanden, aber so wie ich es verstehe, zeigst du nur, dass die Koeffizienten über die summiert werden, eine Nullfolge darstellen. Das ist aber nur ein (notwendiges, nicht mal hinreichendes) Kriterium für die Konvergenz der Reihe, so dass du daraus nichts über den Grenzwert der Reihe aussagen kannst.
Da alle Koeffizienten größer als Null sind, ist die Summe sicher größer als Null.

15.04.2007, 19:51

Gela

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Stimmt ja

Aber dann müsste $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ rauskommen....

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{n}~\frac{e^x}{e^{2x}+1}~dx \Rightarrow e^x=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{n}~\frac{z}{z^2+1} \frac{1}{z}~dz = [arctan(z)]_{0}^{n}=[arctan(e^x)]_{0}^{n}=arctan(e^n)-arctan(e^0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } arctan(e^n) - arctan(1)= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}= \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Diesen Versuch hatte ich auch unternommen, aber es ist unlogisch das die summe gegen 0 strebt - oder nich Augenzwinkern

16.04.2007, 01:17

Gela

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habs mit Quotientenkrit versucht - auch wenn ich nich genau weis ob dessen Ergebnis gleich dem Grenzwert der Reihe ist ^^"

...Naja um ehrlich zu sein weis ich gar nicht ob es was bringt verwirrt

Aber schaden kanns ja nich wenn ich meinen "ansatz" herzeig...

$\begin{eqnarray*} \frac{2(k+1)}{\sqrt{n^4+n^2(k+1)^2}}\cdot \frac{\sqrt{n^4+n^2k^2}}{2k} = \frac{k+1}{k}\cdot\frac{n^2\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}}{n^2\sqrt{1+\frac{(k+1)^2}{n^2}}} <1 \end{eqnarray*}$

weil...
$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{k}<1 und \frac{\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{(k+1)^2}{n^2}}}<1 \end{eqnarray*}$

kann damit einer was anfangen?!
Bin ich (was ich mal annehme) auf nem völlig falschem Weg?!

16.04.2007, 09:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gela
habs mit Quotientenkrit versucht - auch wenn ich nich genau weis ob dessen Ergebnis gleich dem Grenzwert der Reihe ist ^^"

Das Quotientenkriterium ist - wie der Name - sagt ein Kriterium, ob eine Reihe konvergiert. Das Kriterium sagt aber nichts über den möglichen Wert aus.

Zitat:

Original von Gela
weil...
$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{k}<1 \end{eqnarray*}$

So, so.

Setze doch mal für k ein paar Werte ein. Augenzwinkern

16.04.2007, 09:29

Gela

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ups

... naja war ja auch schon spät gestern ^^"

Aber wie bekomm ich denn nun den Grenzwert der Reihe heraus?! Hilfe

16.04.2007, 09:38

klarsoweit

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Also momentan muß ich passen. Sorry.

Arthur Dent oder Leopold: habt ihr eine Idee?

16.04.2007, 12:31

Toxman

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Wie man leicht sieht, ist der Grenzwert dieser Reihe $\begin{eqnarray*} -2+2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Sagt jedenfalls Maple, wenn ich es nach

Zitat:

limit(sum('2*k/( (n^4+n^2*k^2)^(1/2) )','k'=1..n),n=infinity);

frage.

16.04.2007, 12:42

Ruprecht

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Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{2k}{\sqrt{n^4+n^2 k^2}}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{2\frac{k}{n}}{\sqrt{1+\left( \frac{k}{n}\right)^2}} \end{eqnarray*}$ .

Diese Summe kann als Zwischensumme des Integrals

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}dx=2(\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$

aufgefasst werden.

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