Determinanten einer 10x10 Matrix

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25.11.2004, 18:59	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten einer 10x10 Matrix Hallo! Habe folgende Aufgabe zu berechnen: Sei A= (aij) eine 10x10 Matrix über R, deren Einträge 0 und 1 sind, und bei der maximal 11 Einträge nicht 0 sind. Welche Werte kann det(A) annehmen? Geben Sie für jeden der möglichen Fälle ein Beispiel. (Hinweis: Leibnizformel) Also, meiner Meinung nach gibt es eigentlich nur drei Fälle, nähmlich det(A)=1, det(A)=0 oder det(A)=-1. Zeigen würde ich diese Fälle, indem ich drei Matrizen mit oben genannten Bedingungen konstruiere und dann mit Hilfe der Laplace-Entwicklung, die entsprechenden Determinanten herausfinde. Aber gibt es noch andere Lösungen, kann eigentlich nicht,oder? Und wie würde ich das mit der Leibniz-Formel machen???
25.11.2004, 19:28	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten einer 10x10 Matrix Ich gebe mal meine drei Beispiellösungen dazu: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Von dieser Matrix ist dann det(A)=1 Wenn A'= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Von A' wäre dann det(A')= -1 A''= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ det(A'')= 0 Für diese drei Ergebnisse gibt es natürlich auch andere Lösungen, alles andere klappt nicht...
25.11.2004, 20:25	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Leibnizformel für deinen Fall wäre $\begin{eqnarray} \det(A) = \sum_{\sigma \in S_{10}} \big( \text{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{k=1}^{10} A_{k, \sigma(k)}\big) \end{eqnarray}$ Das Produkt in der Summe wird natürlich nur 1, wenn alle Faktoren 1 sind. Das heißt aber auch, dass in jeder Zeile mindestens eine 1 stehen muss. Jetzt überleg mal, wieviele Permutationen in S10 es gibt, für die das Produkt 1 wird.
25.11.2004, 20:33	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es einige, 10! ? Aber das war ja nicht wirklich meine Frage. Stimmt es denn, dass es auch die Lösungen det(A)= 0 und det(A)= -1 gibt.Meiner Meinung ja. UNd wie kann ich beweisen, dass gerade nur diese Werte herauskommen können? Eigentlich ja logisch. Aber genauer Beweis?
25.11.2004, 20:38	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, vielleicht, weil die Signatur von etwas immer nur 1, -1 ist und aus dem Produkt in der Siganturformel mit oben genannten Bedingungen nur 0 oder 1 herauskommen kann? Und die Signatur multipliziert mit dem Produkt eben nur 1,0,-1 ergeben kann??? (Falls es in etwa stimmen sollte, wie drückt man das einigermaßen mathematisch aus??)
25.11.2004, 20:50	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hätte etwas anders argumentiert (ohne leibniz): wenn man weniger als 9 einser setzt muss eine nullzeile existieren => determinante ist 0. also müssen nur 10 einser so gesetzt werden, das in jeder zeile und jeder spalte eine 1 steht, damit nicht determinante 0 rauskommt. (entwickeln und damit also leicht zeigbar, das es mit 10 einsern nur 0, 1 und -1 geben kann) bei 11 einsen bedeutet: wenn es nullzeile gibt einfach; fall betrachten, es gibt keine nullzeile, keine nullspalte: 10 einser müssen wie oben gesetzt sein, danach gibt es noch eine weitere 1, in deren spalte aber bereits eine 1 steht, in deren zeile wiederum nur sie selbst ungleich 0 steht (ich hoffe, du verstehst was ich meine). wenn man nun nach dem laplaceschen entwicklungssatz nach dieser zeile entwickelt hat man 1 (bzw. -1) * det einer 9x9 matrix mit einer 1 in jeder zeile spalte (1 oder -1). hoffe, meine idee ist einigermaßen klar und hat zumindest etwas geholfen.... mfg jochen
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25.11.2004, 21:01	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Also primär geht es um dieses Produkt: $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{10} A_{k, \sigma(k)} \end{eqnarray}$ Die Permutation Sigma ist bijektiv, d.h. es wird aus jeder Spalte nur genau ein Element genommen. Jetzt verteilen wir 10 Einsen auf 10 Reihen. Damit überhaupt ein von Null verschiedenes Ergebnis rauskommt, muss in jeder Spalte genau eine 1 stehen. Ist dies geschehen, existiert genau eine Permutation aus $\begin{eqnarray} S_{10} \end{eqnarray}$ , die das Produkt 1 werden lässt. Für alle anderen Permutationen erhalten wir 0. Zusammen mit dem Signum der Permutation sind für 10 Einsen also nur die Determinanten 0, 1, -1 möglich. Jetzt müssen wir zeigen, dass die letzte noch zur Verfügung stehende 1 keine Auswirkungen auf das Ergenbnis haben kann. Das ist aber klar, denn in der Zeile, in der wir zwei Einsen haben, können wir durch eine elementare Zeilenoperation eine 1 eliminieren, denn wir haben gefordert, dass in jeder Spalte mindestens eine 1 steht. Die möglichen Ergebnisse sind also 0, 1, -1.
25.11.2004, 22:06	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war ein bisschen Quatsch was ich da obe mit den 10! geschrieben habe...hab mal wieder zu ungenau gelesen :-(... Aber ansonsten habe ich`s verstanden. So hatte ichs mir auch in etwas gedacht, nur mit dem ausdrücken fällts mir etwas schwer. DANKE
27.11.2004, 13:20	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Svende! Du hast Post im Eingang! Gruß Poldi

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