gram-schmidt-orthonormalisierung

15.04.2007, 18:33	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
gram-schmidt-orthonormalisierung hi leute, ich möchte im vorhinein sagen, dass ich bereits die suche benutzt habe, jedoch keine direkte antwort auf meine frage gefunden habe. gram-schmidt gab es ja schon ziemlich oft hier, wie ich gesehen habe. zu meiner frage: wir sollen das gram-schmidtsche orthonormalisierungsverfahren auf eine basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ anwenden. dabei sind 3 vektoren gegeben: $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ muss ich nun erstmal eine matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A=(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray}$ aufstellen und dann das orthonormalisierungsverfahren anwenden oder kann ich sofort mit dem verfahren beginnen bis ich drei orthonormalbasen $\begin{eqnarray} u_1,u_2,u_3 \end{eqnarray}$ habe? ich bin etwas verwirrt, weil wir in der übung ein beispiel hatten, wo eine 2x2-matrix und 2 vektoren gegeben waren und wir das verfahren darauf angewendet hatten. aba vermutlich ist das ein anderer aufgabentyp. fakt ist, dass ich etwas verunsichert bin und bitte ein wenig hilfe hätte.
15.04.2007, 19:03	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gram-schmidt-orthonormalisierung Hi! Nun das kann schon sein, dass die Aufgabe mal so oder so gestellt ist. Beispielsweise kann auch eine Matrix gegeben sein, bei der man eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren finden soll. Nun sollst du also dieses Verfahren auf eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ anwenden. OK - finde zunächst eine geeignete Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und zeige zumindest, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Ich würde dir nicht die Standardbasis empfehlen, weil das ist doch recht langweilig. Machen wir mal ein Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} V\subset \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ aufgespannt von $\begin{eqnarray} v_1:=(-3,-3,3,3), ~v_2:=(-5,-5,7,7),~ v_3:=(4,-2,0,6). \end{eqnarray}$ Wir wollen jetzt eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarproduktes auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ angeben. Dann gilt für $\begin{eqnarray} \tilde{v_1}=\cfrac{1}{6}\cdot v_1=(-0,5;-0,5;0,5;0,5) \end{eqnarray}$ . Wie kommt man darauf wirst du dich sicherlich fragen. Schau nach wie das Verfahren funktioniert. Dann ist $\begin{eqnarray} w_2=v_2-<\tilde{v_1},v_2>\cdot \tilde{v_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2=v_2-12\cdot (-0,5;-0,5;0,5;0,5)=(1,1,1,1) \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \tilde{v_2}=\cfrac{1}{\sqrt{4}}\cdot (1,1,1,1)=(0,5;0,5;0,5;0,5). \end{eqnarray}$ Und nun noch $\begin{eqnarray} \tilde{v_3} \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} \tilde{v_1},~\tilde{v_2},~\tilde{v_3} \end{eqnarray}$ eine ONB. Ich suche noch mal meinen Thread raus, in dem ich mich schon mal ausführlich dazu geäußert habe und editiere gleich noch mal. Viel Erfolg beim Rechnen! Edit: Wie versprochen, der Link: Hier draufklicken Achso: Mit $\begin{eqnarray} <v_1,v_2> \end{eqnarray}$ sei das Skalarprodukt zwischen $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ gemeint
15.04.2007, 19:25	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
hi vektorraum, vielen dank für deine antwort und den link. mir ist nun einiges klarer. jetzt weiß ich, wie ich die aufgabe angehen muss. dankööö.

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