unstetiges Integral

15.04.2007, 18:40

Ambrosius

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unstetiges Integral

Ich soll mit einem Beispiel zeigen, das das Funktional $\begin{eqnarray*} \Phi(f) := \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f(x)~dx \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist, für f stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit kompaktem Träger

Ich versuche nun schon seit einiger zeit eine Folge $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ zu finden für die gilt: $\begin{eqnarray*} \lim \Phi(f_n(x)) \neq \Phi (\lim f_n(x)) \end{eqnarray*}$ Dann waäre ich ja fertig. nur gelingt mir das nicht.

Hat jemand einen Tipp für mich?

15.04.2007, 19:18

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Mit Supremumnorm? Nimm doch einfach

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \begin{cases} \frac{n-|x|}{n^2} & \;\mbox{für}\; |x|\leq n \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

oder sowas ähnliches.

15.04.2007, 19:41

Ambrosius

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nimm doch einfach

an genau sowas hatte ich gedacht. Habe zig solche Dreiecksdinger zu bauen versucht, nur klappte es irgendwie nie.

Danke! smile

smile

15.04.2007, 21:03

Mathe_Martina

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Auch ich beschäftige mich grade mit dem Thema.

Ich habe ein Intervall [a,b] und soll die Operatornorm des Integrals berechnen. Ich bezeichne den Integraloperator mit T. Meine Idee ist so:

$\begin{eqnarray*} ||T|| = \sup_{f \neq 0} \frac{|T f| }{||f||_{\infty}} \end{eqnarray*}$

Da das Intervall kompakt ist, nimmt das stetige f ein Maximum an, das ich mit m bezeichne. Also habe ich

$\begin{eqnarray*} ||T|| = \sup_{f \neq 0} \frac{|\int\limits_{a}^{b} ~f(x) ~dx|}{m} \stackrel{\star}{=} \sup_{f \neq 0} \frac{|f(\xi)| \cdot |b-a|}{m} \end{eqnarray*}$

wobei beim Stern der MWS der Integralrechnung benutzt wurde. Nur hier komme ich nicht weiter. Gibt es eigentlich keine einfachere Möglichkeit Operatornormen zu berechnen?

03.04.2008, 19:16

ferdi21

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integral stetig
ich frag mich gerade, welche Eigenschaften f haben muss, damit das Integral über f auch stetig ist. das integral über eine stetige funktion ist offenbar nicht wieder unbedingt stetig.
Ich versteh aber das Beispiel oben z.B. nicht ganz,
Wenn ich die f_n(x) so wähle (also n-|x| / n^2 für |x|<= n), dann geht die funktionenfolge doch für n gegen unendlich gegen 0, also wäre mein f=0 für alle x. Wo ist dann der kompakte Träger?

Ausserdem bekomm ich irgendwie trotzdem auf beiden seiten das gleiche raus, wenn ich $\begin{eqnarray*} lim\phi(f_n(x)) \end{eqnarray*}$ ausrechne und $\begin{eqnarray*} \phi(lim f_n(x)) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \phi(\lim f_n(x))=\phi(0)=\int0~dx = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim\phi(f_n(x))=\lim\int f_n(x)~dx = \lim\int (n-|x|)/n^2~dx=\lim [1/n^2*x-1/n\begin{pmatrix} 1/2x^2\\ -1/2x^2\end{pmatrix}]_{-\infty}^\infty \end{eqnarray*}$ (jeweils für x>0 und x<0) und den Fall "0 sonst" mal weggelassen, da in dem Fall ja sowieso das selbe wie oben steht

03.04.2008, 19:28

WebFritzi

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RE: integral stetig
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} f_n(x)~dx &=& \int_{-n}^n \frac{n-|x|}{n^2}~dx = 2\int_0^n \frac{n-x}{n^2}~dx = \frac{2}{n^2} \int_0^n (n-x)~dx\\ &=& \frac{2}{n^2}\left[ nx - \frac{x^2}{2} \right]_0^n = \frac{2}{n^2} \left(n^2 - \frac{n^2}{2}\right) = 1. \end{eqnarray*}$

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03.04.2008, 20:00

nochwas

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Stimmt. Danke! Was aber immer noch nicht mein Problem mit dem kompakten Träger löst.

Und kann ich gleich noch etwas fragen:

Ich hab eine Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , die stetig differenzierbar ist mit beschränkter Ableitung,

dann ist:
$\begin{eqnarray*} \int\phi'(u)dF_0(u) \end{eqnarray*}$ endlich. Wieso?
(F_0 ist eine stetige und symmetrische Verteilungsfunktion). Also im Grunde nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} \int\phi'(u)*f_0(u)du \end{eqnarray*}$ , wobei f_0 die zugehörige Dichte.

03.04.2008, 20:06

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RE: integral stetig

Zitat:

Original von ferdi21
Wenn ich die f_n(x) so wähle (also n-|x| / n^2 für |x|<= n), dann geht die funktionenfolge doch für n gegen unendlich gegen 0, also wäre mein f=0 für alle x. Wo ist dann der kompakte Träger?

Jedes $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ hat einen kompakten Träger, und die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch. Du stellst dir vielleicht vor, dass diese Funktionen alle einen gemeinsamen kompakten Träger haben sollten - das ist nicht der Fall, und auch gar nicht gefordert! unglücklich

unglücklich

03.04.2008, 20:13

ferdi

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nein, ich meinte eigentlich nur den Träger von der Grenzfunktion f. Ist die nicht identisch 0? Wie sieht der denn dann aus?

03.04.2008, 20:22

Mathespezialschüler

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Naja dann ist der Träger nunmal die leere Menge.

04.04.2008, 13:21

ferdi

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hm. gibt es dann eine funktion, die keinen kompakten Träger hat?

04.04.2008, 13:34

WebFritzi

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Ja, f(x) = x zum Beispiel. Hier ist der Träger ganz IR.

04.04.2008, 13:43

ferdi

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äh sorry, ich meinte nicht kompakt, ich meinte nur Träger.

04.04.2008, 13:46

ferdi

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aber das ist ja eigentlich überhaupt nicht das, was mein eigentliches Problem ist, sondern siehe oben bei "nochwas". ich nehme eine stetige und beschränkte funktion mit einer symmetrischen Dichtefunktion mal und werfe dann das integral drauf. Warum ist das Integral endlich?

04.04.2008, 14:35

WebFritzi

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Zitat:

Original von nochwas
Und kann ich gleich noch etwas fragen:

Ich hab eine Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , die stetig differenzierbar ist mit beschränkter Ableitung,

dann ist:
$\begin{eqnarray*} \int\phi'(u)dF_0(u) \end{eqnarray*}$ endlich. Wieso?
(F_0 ist eine stetige und symmetrische Verteilungsfunktion).

Die Aussage stimmt nicht. Wähle z.B.

$\begin{eqnarray*} \phi(x) = \begin{cases}0&\text{für }x<0\\x^2/2&\text{für }0\le x \le 1\\x&\text{für }x > 1\end{cases}. \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} F_0(x) = x^2/2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R}\phi'(u)dF_0(u) = \int_{\mathbb R} \phi'(u)u\,du = \int_0^1 u^2\,du + \int_1^\infty u\,du, \end{eqnarray*}$

und dieses Integral existiert nicht.

04.04.2008, 16:54

ferdi

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sorry, ich hab ein paar informationen vorenthalten.
also meine funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist continous, nondecreasing, bounded und odd.
dann wie gehabt, stetig diffbar mit beschränkter ableitung.

Und nehmen wir einfach mal an, die Dichtefunktion ist die der Standardnormalverteilung z.B. $\begin{eqnarray*} f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, dieses Mal hab ich nichts vergessen verwirrt

verwirrt

...

04.04.2008, 17:19

WebFritzi

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Also, wenn f_0 (wie bei deinem Beispiel mit der Standardnormalverteilung) integrierbar ist über IR, dann ist's einfach

$\begin{eqnarray*} \int |\Phi'(u)f_0(u)|\,du \le \|\Phi'\|_\infty \int |f_0(u)|\,du < \infty. \end{eqnarray*}$

Ansonsten wäre noch interessant zu erfahren, was du meinst mit "das Integral ist endlich".

05.04.2008, 12:31

ferdi

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ja, so meinte ich das. Das Integral über die Dichte ist immer 1.
Ist das so eine ungewöhnliche Ausdrucksweise "das Integral ist endlich"? Das Integral existiert? Im Englischen heißt es doch auch "the integral is finite".

05.04.2008, 14:30

WebFritzi

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Ich bevorzuge die Ausdrucksweise "das Integral existiert". Die andere macht nur bedingt Sinn, wenn nämlich der Integrand stets positiv ist. Die Frage wäre auch noch, ob du mit dem Lebesgue- oder mit dem Riemann-Integral arbeitest.

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