Partialbruchzerlegung

25.11.2004, 19:13

qer

Partialbruchzerlegung

ich bräuchte evtl. einen kleinen Hinweis wie folgendes zu bewerkstelligen ist ;/

von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-x^{3}} \end{eqnarray*}$

soll die Stammfunktion durch Partialbruchzerlegung gebildet werden. Im Buch ist der Hinweis gegeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{1-x} \end{eqnarray*}$

bringt man dieses dann auf einen Nenner so ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{(C-A)x^{3} + (A-B)x^{2} + Bx}{x * x^{2} * (1-x)} \end{eqnarray*}$

um nun A,B und C zu bestimmen müssen nun die Koeffizienten der Zählerfunktion von f(x) und der Zählerfunktion der partialzerlegten Funktion übereinstimmen, hierbei ergibt sich aber das Problem:

$\begin{eqnarray*} (C-A)x^{3} + (A-B)x^{2} + Bx = 2x^{2} + 3x - 2 \end{eqnarray*}$

was tun?

25.11.2004, 19:36

murray

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RE: Partialbruchzerlegung
Du weisst jetzt mal auf jeden Fall B (Tipp: B = 3) (musst nur auf den Grad achten!) Weil 1. Grad (x*B) ist nur mit B multipliziert! Den Rest (A,C) kannst dann einfach durch einsetzen ausrechnen!

mfg

25.11.2004, 19:41

qer

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also wenn

$\begin{eqnarray*} B = 3 \end{eqnarray*}$

dann wäre

$\begin{eqnarray*} A = 5 \end{eqnarray*}$

dann fehlt mir noch das C was ich nicht bekomme da keine Potenz 3.Grades vorkommt und ich nicht gleichsetzen kann.

25.11.2004, 19:44

murray

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Du hast gut kombiniert! Aber wie mach ich C, dass

$\begin{eqnarray*} C-A=0 \end{eqnarray*}$ ???

hehe! Oft sieht man den Wald vor lauter Bäume nicht!

mfg

25.11.2004, 19:56

qer

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Ok hab nun gemerkt dass ich ein x ausklammern kann -.-, dann kommen auch die richtigen Werte für A,B und C raus.

Aber wohin mit dem ausgeklammerten x?

$\begin{eqnarray*} x * ((C-A)x^{2} + (A-B)x + B) = 2x^{2} + 3x - 2 \end{eqnarray*}$

25.11.2004, 20:03

murray

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Mal erstens ist deine Bruchauflösung falsch! Die muss noch nen 0.Grad haben (Tipp: der heisst B) und überhaups hab ich gemeint, dass du den 3. Grad wegbringst indem du A=C setzt weil dann heissts x^3*(A-C) und A-C = 0 und dann hast das Problem mit 3.Grad gelöst!

Sollt glaub ich eher so laufen!
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{1-x}=\frac{x^{2}\cdot (C-A)+x\cdot (A-B)+B}{x^{2}-x^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}\cdot (C-A)+x\cdot (A-B)+B=2\cdot x^{2}+3\cdot x -2 \end{eqnarray*}$

mfg

25.11.2004, 20:08

qer

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ja sorry, das mit der Bruchauflösung war ein copy & paste Unglück ;[

wenn ich C-A = 0 setze dann fällt mir zwar x^3 weg aber ich brauche immer noch ein konstantes Glied in dem Fall die -2. Die bekomme ich aber nicht in der nicht-faktorisierten Form des Terms -> Problem.

ich hab (dank schlauem Heft) an sich auch schon die Lösungen für A,B und C was mir fehlt ist der Weg:

A = 1
B = -2
C = 3

selbiges kommt nach faktorisieren auch raus nur bleibt mir dann eben noch ein x vor der Klammer über.

25.11.2004, 20:11

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von qer
$\begin{eqnarray*} \frac{(C-A)x^{3} + (A-B)x^{2} + Bx}{x * x^{2} * (1-x)} \end{eqnarray*}$

Da war auch im Nenner ein x zuviel...

$\begin{eqnarray*} \frac{(C-A)x^{2} + (A-B)x + B}{x^{2} * (1-x)} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

25.11.2004, 20:15

qer

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im Buch steht als Hinweis:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{1-x} \end{eqnarray*}$

wenn ich dass auf einen Nenner bringe kommt doch meiner Meinung nach

$\begin{eqnarray*} \frac{(C-A)x^{3} + (A-B)x^{2} + Bx}{x * x^{2} * (1-x)} \end{eqnarray*}$

raus oder?

25.11.2004, 21:06

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Zitat:

Original von qer
wenn ich dass auf einen Nenner bringe kommt doch meiner Meinung nach

$\begin{eqnarray*} \frac{(C-A)x^{3} + (A-B)x^{2} + Bx}{x * x^{2} * (1-x)} \end{eqnarray*}$

Ist ja richtig, aber ...

Seufz...

Was steht jetzt bei dir im Nenner ???

$\begin{eqnarray*} x * x^{2} * (1-x) = x^3-x^4 \end{eqnarray*}$

und NICHT

$\begin{eqnarray*} x^2-x^3 \end{eqnarray*}$

(Ich schreie nur ungern in Großbuchstaben rum, aber manchmal geht es wohl nicht anders!)

25.11.2004, 21:27

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Ein letzter Versuch...

Es liegt nicht an deinem Buch.

Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{(C-A)x^{3} + (A-B)x^{2} + Bx}{x * x^{2} * (1-x)}=\frac{(C-A)x^{2} + (A-B)x + B}{ x^{2}-x^3}=\frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-x^{3}} \end{eqnarray*}$

und dann klappt auch der Koeffizientenvergleich, ohne Faktor "x" zuviel in Zähler, oder Nenner, oder sonstwo...

25.11.2004, 21:35

qer

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Danke, Meister der Ironie

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