Konvergenz von Reihen

26.11.2004, 11:38

IKE

Konvergenz von Reihen

Hallo ihr Hilfsbereiten,

für die folgenden Reihen soll ich Konvergenz oder Divergenz zeigen.

Wäre schön wenn ich die ersten beiden kontrollieren könntet und bei der letzten weiß ich nicht welches Kriterium ich anwenden soll.

1) $\begin{eqnarray*} \sum~\frac{n^{n}}{n!3^{n}}=\frac{e}{3} \end{eqnarray*}$ laut Quotientenkriterium ist diese Reihe konvergent da kleiner 1

2) $\begin{eqnarray*} \sum~(\frac{n}{n+1})^{n^{2}}=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \sum~\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Diese Aufgabe konnte ich etwas vereinfachen aber was mach ich dann damit?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}+n} \end{eqnarray*}$

Habt vielen Dank

IKe

26.11.2004, 11:59

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RE: Konvergenz von Reihen
Du hast eine recht saloppe Schreibweise: Rechts vom Gleichheitszeichen sollte der Reihenwert stehen!

Das, was du dort in 1) und 2) angegeben hast, sieht eher nach dem im Quotienten- oder Wurzelkriterium auftauchenden Grenzwert aus!

Na egal, jedenfalls in dieser Intepretation stimmen diese Werte.

Bei 3) hilft das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium, jedenfalls wenn du über das Konvergenzverhalten von Reihen des Typs

$\begin{eqnarray*} \sum~\frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$

orientiert bist.

27.11.2004, 14:29

BraiNFrosT

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von IKE
Diese Aufgabe konnte ich etwas vereinfachen aber was mach ich dann damit?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}+n} \end{eqnarray*}$

Ich hab es nach dem Cauchy Konvergenzprinzip gemacht :

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \ \ \exists n_o \ \ \forall m > n > n_o : \sum_{k=n}^m~a_k < \epsilon \end{eqnarray*}$

Mit Epsilon := 1/2 und m:=2n

gibt das :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^{2n}~\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k \cdot( 1+\sqrt{1+\frac{1}{k}})} \ \ \leq \ \ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2n \cdot( 1+\sqrt{1+\frac{1}{2n}})} \ \ < \ \ \frac{1}{2} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist richtig verwirrt

27.11.2004, 14:33

Mathespezialschüler

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RE: Konvergenz von Reihen
@BRaiNFrosT
Du musst es aber für alle m,n> einem n0 zeigen und nicht nur für m=2n, sondern z.B. auch m=2n+10000 oder m=n+3694 Augenzwinkern