lage bzw streuungsparameter bei stichproben

26.11.2004, 13:32

ughh

lage bzw streuungsparameter bei stichproben

hallo, ich habe ein kleines problem und brauch einen kleinen denkanstoß.

in meiner aufgabe beträgt N=360 und n=36, also ein Zehntel.
die gemessenen merkmalsausprägung ist der umsatz dieser 36 unternehmen. mit stichprobenmittelwert=560 und standardabweichung=50, also varianz=2500.
wenn unteranderem nach einem 95%-konfidenzintervall für den gesamten monatsumsatz aller unternehmen gefragt ist, muß ich dann
560*10 rechnen? eigentlich schon. oder?
aber wie verhält es sich mit der varianz? muß ich die ebenfalls *10 nehmen?

gleiches für die standardabweichung? weil, (50*10)²=250.000
aber: 2500*10=25.000

wenn ich das nicht kapier, brauch ich nicht weitermachen.
danke

26.11.2004, 13:39

Ben Sisko

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RE: lage bzw streuungsparameter bei stichproben
Erwartungswert (dort findet man auch Rechenregeln)

Varianz (dito)

26.11.2004, 14:11

ughh

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hilft mir leider wenig bzw garnicht.
es mangelt mir wahrlich nicht an definitionen und formeln.
das intervall berechnet sich wohl über
[X-1,96*standardfehler;X+1,96*standardfehler], richtig?
X ist also 560*10? richtig?
standardfehler=standardabweichung/wurzel n
n der grundgesamtheit ist 360
aber was ist die standardabweichung der grundgesamtheit, wenn die standardabweichung der stichprobe 50 DM ist???

26.11.2004, 20:13

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RE: lage bzw streuungsparameter bei stichproben
Kannst du bitte mal die Originalaufgabe posten?

Wenn man mit so einer Mischung

Zitat:

in meiner aufgabe beträgt N=360 und n=36, also ein Zehntel.
die gemessenen merkmalsausprägung ist der umsatz dieser 36 unternehmen...

aus "halber" Aufgabenstellung (es fehlen einige Angaben, wie etwa das alle 360 Unternehmen die gleiche Umsatzverteilung besitzen) und ersten Lösungsansätzen losstürzt, ist es schwer zu entziffern, was hier eigentlich los ist.

27.11.2004, 14:27

ughh

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mach ich doch glatt.
mir ist auch aufgefallen, das das mal 10 rechnen käse ist, es müßte wenn überhaupt mal 360 genommen werden.

also hier die aufgabe:
ein marktforschungsinstitut will in einer großstadt den monatsumsatz eines bestimmten markenartikels feststellen. von den 360 einzelhändlern wird ein zehntel zufällig ausgewählt un befragt. es ergibt sich ein durchschnittlicher monatsumsatz von 560 DM bei einer standardabweichung von 50 DM .
a) bestimmen sie ein 95%-konfidenzintervall für den durchschnittlichen monatsumsatz in dieser großstadt.
b) in welchen grenzen wird der gesamte monatsumsatz dieses markenartikels in der großstadt liegen (95% Sicherheit)?

aufgabe a) hab ich raus. [536,73 DM; 583,28 DM], ist ja fast nur einsetzen.
aber halt b) hab ich keine ahnung wie ich da rangehen soll.

meine überlegung (die wohl falsch sein wird, wie immer) ist, das man den durchschnittlichen monatsumsatz von 560 DM , da er ja ein erwartungstreuer schätzer für alle 360 unternehmen ist, mit N=360 multipliziert. aber was ist mit der standardabweichung bzw varianz?

27.11.2004, 15:16

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$\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ ... zufälliger Monatsumsatz des k-ten Händlers (k=1,...,N mit N=360)

(Wir setzen Unabhängigkeit der Umsätze der Händler voraus, sonst kann man hier eh nichts ausrechnen.)

Dann ist $\begin{eqnarray*} X_k\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ der mittlere Monatsumsatz eines Händlers ist.

Aus der Befragung von n=36 Händlern (o.B.d.A. 1,...,n) ergibt sich ein Stichprobenmittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x}=560 \end{eqnarray*}$ und eine Stichprobenstandardabweichung $\begin{eqnarray*} s=50 \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} \alpha=0.05 \end{eqnarray*}$ .

a) Dann bestimmt sich das 95%-Konfidenzintervall für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \bar{X}_n:=\frac{1}{n}\left(X_1+\ldots+X_n\right)\sim\mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{eqnarray*}$ gemäß

$\begin{eqnarray*} \left[\bar{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}},\bar{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\right] \end{eqnarray*}$

mit t-Verteilungs-Quantilen $\begin{eqnarray*} t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray*}$ .

b) Für den Gesamtumsatz $\begin{eqnarray*} G=X_1+\ldots+X_N \end{eqnarray*}$ gilt nun $\begin{eqnarray*} G=N\cdot\bar{X}_N\sim\mathcal{N}\left(N\mu,N\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ und daher ist ein 95%-Konfidenzintervall für G durch

$\begin{eqnarray*} \left[N\bar{x}-\sqrt{N}st_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}},N\bar{x}+\sqrt{N}st_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\right] \end{eqnarray*}$

berechenbar.

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