Aufgaben zur analy Geometrie

16.04.2007, 12:14

Primzahl

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Aufgaben zur analy Geometrie

Gegeben seien die Punkte A(8/0/0), B(8/3/0), C(0/0/6) sowie $\begin{eqnarray*} D_t(4t+5/3/-3t) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
1. Gib eine Koordinatengleichung der Ebene, an in der die Punkte A,B und C liegen.
2.Bestimme die Geradengleichung von zwei Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC, und berechne den Schnittpunkt dieser Seitenhalbierenden.
3.Zeige, dass die Ursprungsgerade g die durch $\begin{eqnarray*} S(\frac{16}{3} /1/2) \end{eqnarray*}$ geht, windschief zu der Geraden $\begin{eqnarray*} h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -2\\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verläuft, und bestimme den Abstand der beiden Geraden.

Das war die 1. Teilaufgabe dazu, wollte nur wissen, ob meine Ergebnisse stimmen.
1. $\begin{eqnarray*} 6x_1+8x_3=48 \end{eqnarray*}$
2.Da hatte ich so meine Schwierigkeiten, weil ich nicht wusste, ob ich die Richtungsvektoren normieren sollte und anschließend mit 0,5 multiplizieren sollte.
Seitenhalbierende von AB: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0\\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Seitenhalbierende von AC: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -8\\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann man noch zusammenfassen, aber will erst mal wissen, ob es soweit stimmt, denn ich kriege den schnittpunkt der ja S sein soll nicht raus.

3.Ursprungsgerade durch S:
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = s\begin{pmatrix} \frac{16}{3} \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die ursprungsgerade ist windschief zu h, weil die richtungsvektoren nicht kolinear sind und es keinen gemeinsamen punkt gibt.

d=2,33

16.04.2007, 13:39

Matti

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geht die seitenhalbierende nicht durch z.b. den punkt a und die mitte der seite BC.
dann wären das nämlich für die 1 gerade (8/0/0)+r0,5(-8/-3/6)

16.04.2007, 13:46

Primzahl

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Zitat:

Original von Matti
geht die seitenhalbierende nicht durch z.b. den punkt a und die mitte der seite BC.
dann wären das nämlich für die 1 gerade (8/0/0)+0,5(-8/-3/6)

soweit ich weiß nicht, höchstens durch den punkt r0,5(-8/-3/6). die seitenhalbierende ist ja orthogonal zu BC. also fehlt der zugehörige richtungsvektor dazu oder? dein richtungsvektor ist doch der von BC, der glaub ich sogar (-8/-3/6) lautet.
aber zwei seitenhalbierende reichen ja und es wäre nett, wenn ihr die benutzt, die ich bereits verwendet habe.

16.04.2007, 13:47

riwe

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matti, das ist richtig,
und daher ist das oben plunder, das sind ebenen und keine geraden.
daher kannst man auch so nicht deren schnittpunkt berechnen.
der ergibt sich als schnittpunkt von 2 geraden oder zur kontrolle aus

$\begin{eqnarray*} S=\frac{1}{3}(A+B+C)=S(\frac{16}{3}/1/2) \end{eqnarray*}$
ich habe allerdings

$\begin{eqnarray*} s_a: \vec{x} =\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -8 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der rest ist richtig Freude

Freude

, d habe ich nicht nachgerechnet.
werner

16.04.2007, 13:48

Matti

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http://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende

also muss sie durch den gegenüberliegenden punkt und durch die hälfte der seite verlaufen.

16.04.2007, 13:54

Matti

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nur krieg ich irgendwie als punkt s nicht das raus was angegeben ist. die letzte zahl müsste -2 lauten

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16.04.2007, 14:16

riwe

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@matti, siehe oben, du hast beim richtungsvektor einen vorzeichenfehler
werner

16.04.2007, 14:27

Primzahl

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ich hab das nochmal mit meinen obigen geraden gemacht und komme beim letzten ergebnis auch irgendwie auf -2 vllt. auch ein VZ-fehler.

$\begin{eqnarray*} g_{AB}:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 8 \\ 1,5 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_{AC}:\vec{x} =\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.04.2007, 14:28

Matti

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aber es sit doch 0A+0,5rBC
BC ist doch : (0-8/0-3/6-0)
oder mache ich da ienen fehler?

16.04.2007, 14:55

Primzahl

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naja ich hab noch schwierigkeiten zu den restlichen teilaufgaben.

a)Ermittele die Parameterform einer Geraden k, auf der alle Punkte $\begin{eqnarray*} D_t \end{eqnarray*}$ liegen, und zeige anschließend, dass es sich hierbei um die Geraden h aus Aufgabenteil 3) handelt.
b)Stelle außerdem eine Ebenengleichung in Normalenform derjenigen Ebene auf, die A und B enthält und zu k parallel ist.
c)Bestimme t so, dass das Dreieck $\begin{eqnarray*} ABD_t \end{eqnarray*}$ bei B rechtwinklig ist.
d)Für welche Werte von t ist dieses Dreieck $\begin{eqnarray*} ABD_t \end{eqnarray*}$ gleichschenklig?
e)Berechne das Volumen der Pyramide $\begin{eqnarray*} ABCD_t \end{eqnarray*}$ mit der Grundfläche ABC und der Spitze $\begin{eqnarray*} D_t \end{eqnarray*}$ und deute das Ergebnis, dass das Volumenmaß von t unabhängig ist, geometrisch.

a) hier musste ich ja nur $\begin{eqnarray*} D_t \end{eqnarray*}$ einsetzen. man konnte dann sehen, dass die richtungsvektoren mit denen von h übereinstimmt. dann hab ich nur noch den stützvektor von h in k einsetzen müssen, um zu zeigen, dass der stützvektor auch in k liegt.
b) zunächst habe ich einen vektor erstellt, der orthogonal zu k ist, das ist dann der normalenvektor von E.
dann hab ich A in die Normalengleichung eingesetzt. aber ich weiß nicht wie ich eine Ebene erstellen soll in der B auch liegt. zufällig ist die Ebene, die ich erstellt habe eine in der B liegt, aber wie mach ich das wenn es mal nicht so ist?
c) ich hab das mit der formel gemacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{a}*\vec{b} }{ \mid \vec{a} \mid *\mid \vec{b} \mid } =\cos(x) \end{eqnarray*}$

der winkel soll ja 90 grad sein und für die vektoren hab ich die richtungsvektoren der Seiten $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BD_t \end{eqnarray*}$
eingesetzt. aber da kommt 0 raus. heißt es das gilt für alle t oder war das ein falscher ansatz?

d) das ist der selbe ansatz wie bei c nur das ich da eine nicht erfüllte gleichung bekomme.
$\begin{eqnarray*} 0\neq 9 \end{eqnarray*}$ , also für kein t gibt es ein gleichschenkliges dreieck.

e) die rechnung wäre ein wenig lang, aber für die grundfläche des dreiecks hab ich schonmal 15 raus.
bei der höhe der pyramide krieg ich schwierigkeiten, weil sich die gleichung nicht lösen lässt.
ich wollte eine gerade durch $\begin{eqnarray*} D_t \end{eqnarray*}$ mit dem normalenvektor der grundfläche mit der Ebene im schnitt bringen. der abstand des schnitt- bzw. lotfußpunktes mit $\begin{eqnarray*} D_t \end{eqnarray*}$ wäre die höhe.
hatte gehofft das t wegfällt, womit bewiesen wäre das sie unabhängig voneinander sind. aber bis zur berechnung des lotfußpunktes bin ich nicht weiter gekommen.

16.04.2007, 15:02

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} D_t(4t+5/3/-3) \end{eqnarray*}$

Bei der z-Koordinate fehlt bestimmt ein t als Faktor oder ?

Gruß Björn

16.04.2007, 15:06

Matti

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ich kann die lösung zur aufgabe 1 nicht so ganz nachvollziehen

16.04.2007, 15:07

riwe

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Zitat:

Original von Matti
aber es sit doch 0A+0,5rBC
BC ist doch : (0-8/0-3/6-0)
oder mache ich da ienen fehler?

$\begin{eqnarray*} M_{BC}(4/1.5/3)\to \overrightarrow{AM}=(-4/1.5/3)^{T} \end{eqnarray*}$

oder verwirrt

verwirrt

werner

16.04.2007, 15:28

Matti

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Also nochmal von vorn.
der mittelpunkt von BC ist doch die hälfte von BC. soweit richtig oder.
BC ist bei mir die koordinaten von C minus die von B.
wenn ich das auf b addiere komme ich auf c.
wenn ich die hälfte davon draufaddiere komme ich auf M.
Nun A+r*AM ist : (8/0/0)+r*(-4/1,5/3)

Also muss ich zugeben dass du recht hattes. dein ergebnis ist ein vielfaches von meinem.

16.04.2007, 15:34

Bjoern1982

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Zu den restlichen Aufgaben:

a)

Mache aus der Punkteschar $\begin{eqnarray*} D_t \end{eqnarray*}$ eine Geradengleichung und vergleiche zum Nachweis der Indentität von k und h deren Richtungsvektoren und zeige, dass der Aufpunkt von h auch ein Punkt von k ist.

b)

Einen Vektor zu suchen, der senkrecht zu k liegt bringt nichts, weil es unendlich viele davon gibt.
Um an einen Normalenvektor der gesuchten Ebene zu gelanegn bilde das Kreuzprodukt von AB und dem Richtungsvektor von k

c)

Zwei Vektoren (hier AB und BD_t) liegen senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.
(es kommt tatsächlich heraus dass für jedes t ein rechter Winkel in B ist)

d)

Setze die Schenkellängen gleich ! Ich komme auf zwei Lösungen für t

e)

Grundfläche (Dreieck) berechnen ist schon mal gut.
Die Höhe der Pyramdie ist der Abstand d der Spitze D_t von der Ebene durch ABC, die du ja schon in de ersten Aufgabe berechnet hast.

Es gilt für den Abstand d eines Punktes P(p1|p2|p3) von einer Ebene E:ax+by+cx=e :

$\begin{eqnarray*} d=|\frac{ap_1+bp_2+cp_3-e}{\sqrt{a^2+b^x+c^2} }| \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

16.04.2007, 15:35

Matti

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ich kann nicht nachvollziehen wie du auf die geradengleichung gekommen bist bei der aufgabe a vom zweiten teil.

zur aufgabe mit dem rechtwinkligen dreieck.

ich hätte das wieder mit der orthogonalität geregelt.

gerade ab orthogonal zu BD.
sprich AB mal BD =0
also (0/3/0)*(4t+3/0/-3)
da kommt doch 0=0 raus. also müssen alle zahlen für t othogonal sein.

16.04.2007, 15:47

Matti

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Zu den restlichen Aufgaben:

a)

Mache aus der Punkteschar $\begin{eqnarray*} D_t \end{eqnarray*}$ eine Geradengleichung und vergleiche zum Nachweis der Indentität von k und h deren Richtungsvektoren und zeige, dass der Aufpunkt von h auch ein Punkt von k ist.

b)

Einen Vektor zu suchen, der senkrecht zu k liegt bringt nichts, weil es unendlich viele davon gibt.
Um an einen Normalenvektor der gesuchten Ebene zu gelanegn bilde das Kreuzprodukt von AB und dem Richtungsvektor von k

Gruß Björn

zu a. ja aber wie kommt man auf den aufpunkt. das muss doch sein aufpunkt + s* D-aufpunkt für die geradengleichung.
der rest iost klar.

zu b.
Muss man nicht das kreuzprodukt von AB X AD nehmen. Und das produkt dann weil es ein normalenvektor ist mit dem richtungsvektor von k multiplizieren.
dann muss man doch ein t rauskriegen und dass dann in D einsetzen.
so kriegt man den nötigen normalenvektor der ebene raus.

16.04.2007, 15:55

Bjoern1982

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Zitat:

zu a. ja aber wie kommt man auf den aufpunkt. das muss doch sein aufpunkt + s* D-aufpunkt für die geradengleichung.

Bei Betrachtung der Richtungsvektoren von k und h fällt auf, dass diese kollinear sind. Folglich müssen die Geraden entweder parallel oder identisch sein. Also haben sie entweder KEINEN Punkt oder ALLE Punkte gemeinsam.
Eine Punktprobe mit dem Aufpunkt von h liefert somit den Beweis der Indentität, denn wenn ide Geraden einen Punkt gemeinsam haben müssen sie aufgrund der Parallelität ihrer Richtungsvektoren auch alle anderen Punkte gemeinsam haben.

Zitat:

zu b.
Muss man nicht das kreuzprodukt von AB X AD nehmen. Und das produkt dann weil es ein normalenvektor ist mit dem richtungsvektor von k multiplizieren.
dann muss man doch ein t rauskriegen und dass dann in D einsetzen.
so kriegt man den nötigen normalenvektor der ebene raus.

D liegt doch gar nicht in der gesuchten Ebene.
Da A und B in der gesuchten Ebene liegen, ist AB schon mal ein Richtungsvektor und die Tatsache, dass k parallel zu der Ebene verläuft, bedeutet, dass der Richtungsvektor von k auch ein Richtungsvektor der Ebene ist.

Björn

16.04.2007, 15:59

Matti

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recht hast du . da hab ich mich ordentlich vertan^^

16.04.2007, 16:23

Primzahl

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Zitat:

Original von Bjoern1982
$\begin{eqnarray*} D_t(4t+5/3/-3) \end{eqnarray*}$

Bei der z-Koordinate fehlt bestimmt ein t als Faktor oder ?

Gruß Björn

ja so ist es, editier ich noch. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Bjoern1982
b)
Einen Vektor zu suchen, der senkrecht zu k liegt bringt nichts, weil es unendlich viele davon gibt.
Um an einen Normalenvektor der gesuchten Ebene zu gelanegn bilde das Kreuzprodukt von AB und dem Richtungsvektor von k

das kreuzprodukt hatten wir noch nicht. gibt es nicht noch einen anderen ansatz?

zu c) und d)
ist denn der ansatz von mir richtig? zumindest bei c scheint er ja zu stimmen.

16.04.2007, 16:34

Bjoern1982

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Zitat:

das kreuzprodukt hatten wir noch nicht. gibt es nicht noch einen anderen ansatz?

Joa, den gibt es. Gesucht ist ja ein Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht. Und was muss immer für das Skalarprodukt gelten wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander sind ?

Du erhälst daraus ein LGS aus zwei Gleichungen, welches unendlich viele Lösungen hat. Nachher kannst du dir einen Lösungsvektor aussuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aufgabe c) sollte wohl passen...du hättest eben den einen Schritt mit dem Winkel weglassen können und direkt mit dem Skalarprodukt ansetzen können...dein Weg ist natürlich ausführlicher.

Bei d) sollte man schon einen anderen Ansatz wählen, da es hier ja darum geht herauszufinden für welche t die beiden Vektoren bzw Schenkel gleichlang sind.
Die Länge eines Vektors v entspricht immer seinem Betrag.

$\begin{eqnarray*} |\vec{v}|=| \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} \end{eqnarray*}$

Björn

16.04.2007, 16:41

Primzahl

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ahh danke ich hätte da noch zu e) ein frage.

ich hab mal den abstand bzw. die höhe der pyramide ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} h=d=\mid \frac{-12t-33}{\sqrt{73} } \mid \end{eqnarray*}$

das volumen einer pyramide: $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} *A_G*h \end{eqnarray*}$

demnach hängt das volumen ja von t ab, denn je größer t ist umso größer ist das volumen für die grundfläche hatte ich ja 15 raus.
merkwürdigerweise kann $\begin{eqnarray*} D_t \end{eqnarray*}$ auch nicht immer die spitze der pyramide sein, das der lotfußpunkt auch außerhalb des dreiecks ABC liegen kann, je nach t oder? wir haben ja nur die ebene betrachtet.

16.04.2007, 16:55

Bjoern1982

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Bei der Höhe hast du dich wohl verrechnet.

Du musst ja $\begin{eqnarray*} 6x_1+8x_3=48 \end{eqnarray*}$ und die Punkteschar D_t in die obige Formel einsetzen.

Da sollte dann d=1,8 rauskommen.

Und ja, der Lotfußpunkt kann durchaus mal außerhalb des Dreickes liegen....eben genau dann wenn es sich um eine unregelmäßige Pyramide handelt....was aber nichts an deren Volumenberechnung ändert.
Die Höhe errechnet man trotzdem genauso !

Gruß Björn

16.04.2007, 18:20

Primzahl

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nicht schon wieder so ein fehler. Big Laugh

Big Laugh

hab das jetzt auch für den abstand raus. vielen dank nochmal. Wink

Wink

16.04.2007, 18:30

Bjoern1982

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Gern geschehen smile

smile

Björn

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