LR-Zerlegung

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Sabine84 Auf diesen Beitrag antworten »
LR-Zerlegung
Hallo,
wir haben die LR-Zerlegung nur im Skript erwähnt, aber niemals durchgeführt.

Dabei haben wir bei einer regulären Matrix A den Gaußalgorithmus mit Matrizen beschrieben und so die Matrizen L und R erhalten.

Nun berechnet man ja die erste Spalte der Matrix L (also ), multipliziert das von links an A und erhält eine "Zwischenmatrix" R'.
Dann die zweite Spalte von L bzgl. R' berechnen und wieder ein R'' berechnen ... usw bis man L und R eben komplett hat, d.h. L eine untere und R eine obere Dreiecksmatrix ist).

Gibts da einen Rechentrick damit das schneller geht oder führt man das tatsächlich so nach und nach aus?
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist genau so, wie du schon sagst: Der ganz normale Gauß-Algorithmus liefert dir am Ende die Matrix . bekommst du, wenn du all die "Zwischenmatrizen" (ich bezeichne hier mit diejenige L-Matrix im i-ten Schritt des Gauß-Algorithmus. Sie ist nur in der i-ten Spalte unterhalb der Diagonalen besetzt) addierst und das ganze von der Einheitsmatrix abziehst. ist also eine Matrix mit lauter Einsen auf der Hauptdiagonalen, darüber nur Nullen und darunter eben die Faktoren, die du für den Gauß-Algorithmus verwendet hast.
Da es aber Platzverschwendung wäre, und einzeln zu speichern, kann man beides in einer Matrix schreiben, denn hat unter der Hauptdiagonalen nur Nullen, darüber. Die Hauptdiagonale von übernhemen wir, die von ist ja bekannt, da sie ohnehin überall Eins ist. Du speicherst also nur eine Matrix, die aber Elemente von zweien enthält. Im i-ten Schritt gehört also alles unterhalb der Hauptdiagonalen in den Spalten zur Matrix , der Rest zu . Wenn du dir ein Beispiel nimmst und die Trennlinie einzeichnest, kannst du das recht leicht sehen. Programmiert man den Algorithmus also, kann man die Ausgangsmatrix immer überschreiben.

Ich sehe gerade, dass ich ein wenig am Thema vorbeigeschrieben habe. Ich lasse es trotzdem stehen, vielleicht hilft es anderen, die diesen Thread finden. Der Titel ist ja nicht wirklich aussagekräftig. Augenzwinkern

Es gibt aber tatsächlich keinen Weg, die Zerlegung erheblich zu beschleunigen. Im Allgemeinen wird der Algorithmus so durchgeführt.
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