konvergenz und grenzwert

26.11.2004, 21:47

zikxxl

konvergenz und grenzwert

tachchen,
hab da'n kleines problemchen mit 'ner aufgabe, die da heißt:
zeigen sie, dass folgende Fogen konvergieren und geben deren grenzwert an.
...

$\begin{eqnarray*} a_n, n \in \mathbb N; a_n = \sum_{k=0}^n~(-1)^k\frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$

kann man das noch irgendwie anders schreiben, damit ich das irgendwie schneller schnalle...?
wie z.b.folgenden fall
$\begin{eqnarray*} a_n, n \in \mathbb N; a_n = \frac{\sum_{k=0}^n~k}{n^2} \end{eqnarray*}$

das kann ich ja auch schicker schreiben, wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2n^2} \end{eqnarray*}$
das war kein problem. aber der obere......

oder steh ich gerad ma wieder nur auf'm schlauch?!??

26.11.2004, 21:50

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RE: konvergenz und grenzwert

Zitat:

Original von zikxxl
kann man das noch irgendwie anders schreiben, damit ich das irgendwie schneller schnalle...?

Ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\left(-\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$

26.11.2004, 22:03

zikxxl

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okay,
darauf kam ich auch schon.
kann man das auch ohne summenzeichchen formulieren?
oder ist es gerad ma wieder einfacher als ich es mir vorstelle?!?

26.11.2004, 22:10

Mathespezialschüler

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Es is wahrscheinlich zu einfach, du kennst doch sicher die Summenformel für eine endliche geometrische Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Alles klar?!

26.11.2004, 22:10

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Summe geometrische Folge, ist (glaube ich) Schulwissen.

EDIT: 10 Sekunden zu langsam, hehe smile

26.11.2004, 23:15

zikxxl

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oh man *mitderhandvordenkopfhau* natürlich!!!
"den wald vor lauter bäumen nicht sehen" heisst das glaub ich....
jetzt is ja alles klar.

danke.

28.11.2004, 17:15

cassini

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hab bei diesem Thema mitgelesen und verstehe auch mit der Formel für die geometrischen Reihen noch nicht wie das bei diesem speziellen Fall funktionieren soll.
Wenn ich statt q nur -1/2 einsetze, dann geht das doch nicht, oder?
Oder muss ich dann $\begin{eqnarray*} [-1]^n *\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ dafür nehmen? Und dann für q 1/2 einsetzen?

28.11.2004, 17:43

zikxxl

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du musst dir nur noch überlegen, was mit der reihe passiert, wenn du ein q<1 hast. die summenformel vereinfacht sich auf'm schlag...
denn im zähler entsteht u.a. ne nullfolge...

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