injektiv, surjektiv, bijektiv |
| 03.12.2003, 20:33 | traumzauberbaum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
injektiv, surjektiv, bijektiv
mal wieder ne gaanz grosse bitte an euch: wer kann mir die begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv mal so definieren, dass ich es richtig begreife..lol wenn man eine funktion bestimmen will, muss man sie dann immer skizzieren, um zu sehen, ob sie injektiv,etc ist? oder kann man sowas auch irgendwie schon vorher sehen, unser lehrer geht naemlich davon aus, dass wir sofort bescheid wissen, was los ist, wenn er die funktion an die tafel schreibt, aber damit habe ich irgendwie meine probs. danke und schoenen abend noch gruss maria 
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| 04.12.2003, 00:31 | deHoeninger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, versuchen wir mal etwas Licht ins Dunkle zu bringen. Definieren wir mal die Begriffe bijektiv, surjectiv und injektiv. Als Beispiel : seien 2 Mengen A,B gegeben. surjektiv A ---->> B Sagt aus, dass f(A) = B. Die Realation ist als rechtstotal, meint nicht anderes als das jedes Element aus B durch f(A) definiert ist. Gegenbeispiel: Die Surjektivität ist nicht erfüllt, wenn es Element aus B gibt die du nicht mit f(A) erzeugen kannst. injektiv A >----> B Sagt aus, dass aus f(a) = f(b) , a=b folgt. Die Realation ist also linkseindeutig, meint zu jedem b aus B gibt es nur ein a aus A. Gegenbeispiel: Die Injektivität ist nicht erfüllt, wenn einem Element a aus A durch f(a) mehrere b aus B zugeordnet sind. bijektiv A >--->> B Wie aus der Symbolik schon zu erkennen, ist die Bijektivität nur erfüllt wenn die Abbildung linkseindeutig(injektiv), sowie rechtstotal(surjektiv) ist. Daraus ergibt sich das sie bitotal sowie eineindeutig ist. Das meint nichts anders, als dass jedem Element a aus a genau ein Element b aus B zugeordnet wird. Als Beispiel mal die Funktion/Abbildung: f(x)=x² f: R --> R0+ f(x) ist surjektiv da : f(R) = R+ f(x) ist nicht injektiv da : f(2) = 4 = f(-2) f(x) ist daher auch nicht bijektiv, da f(x) zwar surjektiv, aber nicht injektiv ist. Zu deiner Frage wie man diese Sachverhalte auf Anheib erkennen kann, ist zu sagen das es sehr Hilfreich ist sich die Definitionsbereich der Abbildung anzusehen. Aufs obere Beispiel bezogen, würdest du z.B. die Bijektivität erreicht, wenn du den Definitionsbereich entsprechend anpasst. z.b. so : f(x)=x² f:R0+->R0+ Dies heißt aber nicht das Bijektivität gleichzusetzen mit übereinstimmenden Definitionsbereichen. So, ich hoffe das alles ist halbwechs Richtig und konnte etwas Licht ins Dunkle bringen. Aber vielleicht kann ein Andere das besser erklären, nehme das selber gerade erst durch. Un bin etwas skeptisch ob ich das so 100%ig richtig verstanden habe. mfg Jan |
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| 04.12.2003, 09:52 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wichtig ist auch der Wertebereich: In deinem Beispiel: f(x)=x² f:R-->R ist auch nicht mehr surjektiv. Injektivität und Surjektivität sind also keine Eigenschaften, die man ausschliesslich an einer Funktionsgleichung ablesen kann. Gruß vom Dennis |
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